Question

writing and using a quadratic function to model a real - world scenario
a ball is thrown into the air from the ground. the balls height over time
can be modeled with a quadratic function. the table shows the time, t,
in seconds, and the height of the ball, h, in feet.
using the intercepts from the table, the factored form of the quadratic
function can be written as ( f(t)=at(t - 4) ).
the quadratic function that models the scenario is ( f(t)=quad t^{2}+quad t ).
afterquad seconds, the ball attains its maximum height ofquad
feet.

Explanation:

Step1: Encontrar el valor de \(a\)

Sustituir \(t = 1\) y \(h=f(1)=12\) en \(f(t)=at(t - 4)\).
$$12=a\times1\times(1 - 4)$$
$$12=a\times(- 3)$$
$$a=-4$$

Step2: Escribir la función en forma estándar

Sustituir \(a=-4\) en \(f(t)=at(t - 4)\).
$$f(t)=-4t(t - 4)$$
$$f(t)=-4t^{2}+16t$$

Step3: Encontrar el tiempo en el que se alcanza la altura máxima

Para una función cuadrática \(y = ax^{2}+bx + c\) (\(a
eq0\)), el eje de simetría (tiempo en el que se alcanza la altura máxima) está dado por \(t=-\frac{b}{2a}\).
Para \(f(t)=-4t^{2}+16t\), \(a=-4\) y \(b = 16\).
$$t=-\frac{16}{2\times(-4)}$$
$$t = 2$$

Step4: Encontrar la altura máxima

Sustituir \(t = 2\) en \(f(t)=-4t^{2}+16t\).
$$f(2)=-4\times2^{2}+16\times2$$
$$f(2)=-16 + 32$$
$$f(2)=16$$

Answer:

La función cuadrática es \(f(t)=-4t^{2}+16t\). Después de \(2\) segundos, la pelota alcanza una altura máxima de \(16\) pies.