Question

write the coordinates of the vertices after a rotation 270° counterclockwise around the origin.
e (□,□)
f (□,□)
g (□,□)
h (□,□)

Explanation:

Step1: Encontrar coordenadas originales

Primero, identificamos las coordenadas de los vértices originales. Observando el gráfico:
- \( E(-8, 6) \)
- \( F(-8, 10) \)
- \( G(-2, 10) \)
- \( H(-2, 6) \)

Step2: Regla de rotación 270° CCW

La regla para rotar un punto \( (x, y) \) 270° en sentido contrario a las agujas del reloj (CCW) alrededor del origen es \( (x, y) \to (y, -x) \).

Step3: Rotar \( E(-8, 6) \)

Aplicando la regla: \( x = -8 \), \( y = 6 \). Entonces \( E' = (6, -(-8)) = (6, 8) \)? Espera, no: \( (x, y) \to (y, -x) \). Entonces \( E(-8, 6) \): \( y = 6 \), \( -x = -(-8) = 8 \)? No, espera: \( -x \) cuando \( x = -8 \) es \( -(-8) = 8 \)? Wait, la regla correcta para 270° CCW es \( (x, y) \mapsto (y, -x) \)? O es \( (x, y) \mapsto (y, -x) \)? Wait, 90° CCW: \( (-y, x) \), 180°: \( (-x, -y) \), 270° CCW: \( (y, -x) \)? Wait, 270° CCW es equivalente a 90° CW. La regla para 90° CW es \( (x, y) \to (y, -x) \), y 270° CCW es lo mismo que 90° CW. Entonces sí, 270° CCW: \( (x, y) \to (y, -x) \).

Entonces:

- Para \( E(-8, 6) \): \( x = -8 \), \( y = 6 \). Entonces \( E' = (y, -x) = (6, -(-8)) = (6, 8) \)? Wait, no: \( -x \) cuando \( x = -8 \) es \( -(-8) = 8 \)? Sí. Entonces \( E' = (6, 8) \)?

Wait, no, espera: 270° CCW: la rotación 270° en sentido contrario a las agujas del reloj. La fórmula es \( (x, y) \to (y, -x) \)? O es \( (x, y) \to (y, -x) \)? Let's verificar con un ejemplo. Tomar un punto (1, 0). Rotar 270° CCW: debería ir a (0, -1)? No, 270° CCW de (1,0) es (0, -1)? Wait, 90° CCW: (0,1), 180°: (-1,0), 270° CCW: (0, -1). Usando la regla \( (x, y) \to (y, -x) \): (1,0) → (0, -1). Sí, correcto. Entonces la regla es correcta: \( (x, y) \to (y, -x) \) para 270° CCW.

Entonces:

- \( E(-8, 6) \): \( x = -8 \), \( y = 6 \). Entonces \( E' = (y, -x) = (6, -(-8)) = (6, 8) \)? Wait, \( -x \) es \( -(-8) = 8 \), sí.

- \( F(-8, 10) \): \( x = -8 \), \( y = 10 \). Entonces \( F' = (10, -(-8)) = (10, 8) \)?

- \( G(-2, 10) \): \( x = -2 \), \( y = 10 \). Entonces \( G' = (10, -(-2)) = (10, 2) \)?

- \( H(-2, 6) \): \( x = -2 \), \( y = 6 \). Entonces \( H' = (6, -(-2)) = (6, 2) \)?

Wait, pero vamos a verificar con la gráfica. Originalmente, los puntos están en el segundo cuadrante (x negativo, y positivo). Después de rotar 270° CCW, deberían ir al primer cuadrante? Wait, 270° CCW es como rotar 90° en sentido horario. Rotar 90° horario: (x,y) → (y, -x). Entonces:

Para \( E(-8, 6) \): (6, 8) → x=6, y=8 (primer cuadrante).

\( F(-8, 10) \): (10, 8) → x=10, y=8? Wait, no, 10 es muy grande. Wait, quizás me equivoqué en la regla. Wait, la regla correcta para 270° CCW es \( (x, y) \to (y, -x) \)? O es \( (x, y) \to (y, -x) \)? Wait, 270° CCW: la fórmula es \( (x, y) \mapsto (y, -x) \)? Let's check another source. La rotación de 270 grados en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen: la transformación es \( (x, y) \to (y, -x) \). Sí, por ejemplo, el punto (1, 0) rotado 270° CCW: (0, -1)? No, (1,0) rotado 90° CCW: (0,1), 180°: (-1,0), 270° CCW: (0, -1). Usando la regla (y, -x): (0, -1), que es correcto. Entonces (1,0) → (0, -1), que es correcto. Entonces la regla es correcta.

Entonces:

- \( E(-8, 6) \): \( y = 6 \), \( -x = -(-8) = 8 \) → \( E'(6, 8) \)

- \( F(-8, 10) \): \( y = 10 \), \( -x = -(-8) = 8 \) → \( F'(10, 8) \)? Wait, 10 es x=10, y=8. Pero en el gráfico, el eje x va hasta 8, pero quizás el gráfico tiene más. Wait, el gráfico original tiene x de -10 a 8, y de -10 a 10.

- \( G(-2, 10) \): \( y = 10 \), \( -x = -(-2) = 2 \) → \( G'(10, 2) \)?

- \( H(-2, 6) \): \( y = 6 \), \( -x = -(-2) = 2 \) → \( H'(6, 2) \)?

Wait, pero esto parece que los puntos se mueven a la derecha mucho. Quizás me equivoqué en la regla. Wait, la regla para 270° CCW es \( (x, y) \to (y, -x) \)? O es \( (x, y) \to (y, -x) \)? Wait, 90° CW: (x,y) → (y, -x), que es lo mismo que 270° CCW. Sí, porque 90° CW = 270° CCW. Entonces la regla es correcta.

Entonces:

- \( E(-8, 6) \): \( (6, 8) \)

- \( F(-8, 10) \): \( (10, 8) \)

- \( G(-2, 10) \): \( (10, 2) \)

- \( H(-2, 6) \): \( (6, 2) \)

Wait, pero vamos a verificar con la gráfica. Originalmente, E está en (-8,6), F en (-8,10), G en (-2,10), H en (-2,6). Entonces el rectángulo tiene longitud horizontal de 6 (de -8 a -2: 6 unidades) y vertical de 4 (de 6 a 10: 4 unidades). Después de rotar 270° CCW, el rectángulo debería tener longitud vertical de 6 y horizontal de 4? Wait, no, la rotación mantiene la forma. Entonces:

E' (6,8), F' (10,8), G' (10,2), H' (6,2). Entonces el rectángulo tendría longitud horizontal de 4 (de 6 a 10: 4 unidades) y vertical de 6 (de 2 a 8: 6 unidades), lo que coincide con el original (horizontal 6, vertical 4? No, espera, original horizontal: de -8 a -2 es 6 unidades (|-2 - (-8)| = 6), vertical: de 6 a 10 es 4 unidades (10 - 6 = 4). Después de rotar, horizontal: de 6 a 10 es 4 unidades, vertical: de 2 a 8 es 6 unidades. Ah, sí, porque la rotación de 270° CCW intercambia la longitud y la altura y cambia el signo. Entonces eso es correcto.

Answer:

\( E'(6, 8) \)
\( F'(10, 8) \)
\( G'(10, 2) \)
\( H'(6, 2) \)

Wait, pero quizás me equivoqué en la regla. Wait, otra forma: la rotación de 270° CCW es la misma que rotación de 90° CW. La regla para 90° CW es \( (x, y) \to (y, -x) \). Sí, entonces:

• \( E(-8, 6) \): (6, 8) → correcto.

• \( F(-8, 10) \): (10, 8) → correcto.

• \( G(-2, 10) \): (10, 2) → correcto (ya que -x = -(-2) = 2).

• \( H(-2, 6) \): (6, 2) → correcto (y=6, -x=2).

Entonces esos son los vértices rotados.