Question

1. which of these functions has a horizontal asymptote of (1 punto) y = 0? f(x)=\frac{4}{x + 2} g(x)=\frac{3(x + 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 4)} h(x)=\frac{6(x + 1)(x + 2)}{x - 3} 8. which of these functions has no horizontal asymptote? (1 punto) f(x)=\frac{4}{x + 2} g(x)=\frac{3(x + 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 4)} h(x)=\frac{6(x + 1)(x + 2)}{x - 3}

Explanation:

Pregunta 7:

Paso 1: Reglas de Asíntotas Horizontales

Para una función racional \( f(x)=\frac{N(x)}{D(x)} \), donde \( N(x) \) es el numerador y \( D(x) \) es el denominador:

• Si \( \text{grado}(N(x))<\text{grado}(D(x)) \), la asíntota horizontal es \( y = 0 \).
• Si \( \text{grado}(N(x))=\text{grado}(D(x)) \), la asíntota horizontal es \( y=\frac{a}{b} \), donde \( a \) es el coeficiente principal de \( N(x) \) y \( b \) es el coeficiente principal de \( D(x) \).
• Si \( \text{grado}(N(x))>\text{grado}(D(x)) \), no hay asíntota horizontal.

Paso 2: Analizar \( f(x)=\frac{4}{x + 2} \)

El grado del numerador \( N(x)=4\) (grado \( 0 \)) y el grado del denominador \( D(x)=x + 2\) (grado \( 1 \)). Como \( 0<1 \), la asíntota horizontal es \( y = 0 \).

Paso 3: Analizar \( g(x)=\frac{3(x + 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 4)} \)

Simplificando \( g(x)=\frac{3(x + 1)}{x - 4}\) (eliminando \( x+2\) con \( x
eq - 2 \)). El grado del numerador \( N(x)=3(x + 1)\) (grado \( 1 \)) y el grado del denominador \( D(x)=x - 4\) (grado \( 1 \)). La asíntota horizontal es \( y=\frac{3}{1}=3 \).

Paso 4: Analizar \( h(x)=\frac{6(x + 1)(x + 2)}{x - 3} \)

El grado del numerador \( N(x)=6(x + 1)(x + 2)=6(x^{2}+3x + 2)\) (grado \( 2 \)) y el grado del denominador \( D(x)=x - 3\) (grado \( 1 \)). Como \( 2>1 \), no hay asíntota horizontal.

Pregunta 8:

Paso 1: Analizar \( f(x)=\frac{4}{x + 2} \)

Ya vimos que tiene asíntota horizontal \( y = 0 \).

Paso 2: Analizar \( g(x)=\frac{3(x + 1)}{x - 4} \)

Tiene asíntota horizontal \( y = 3 \).

Paso 3: Analizar \( h(x)=\frac{6(x + 1)(x + 2)}{x - 3} \)

El grado del numerador \( (2) \) es mayor que el grado del denominador \( (1) \), por lo que no tiene asíntota horizontal.

Answer:

1. \( f(x)=\frac{4}{x + 2} \)
2. \( h(x)=\frac{6(x + 1)(x + 2)}{x - 3} \)