Question

for which interval is the average rate of change of ( f(x) ) negative?
from ( x=-3.5 ) to ( x=-1 )
from ( x=-3 ) to ( x=3 )
from ( x=3 ) to ( x=4.5 )
from ( x=0 ) to ( x=2.5 )

Explanation:

Step1: Recordar la fórmula de la tasa de cambio promedio

La tasa de cambio promedio de una función \( y = f(x) \) en el intervalo \([a,b]\) está dada por \( \frac{f(b)-f(a)}{b - a} \).

Step2: Analizar el intervalo \( x=-3.5 \) a \( x = - 1 \)

Tomar \( a=-3.5 \), \( b = - 1 \). Observando la gráfica, \( f(-3.5)\approx - 3 \), \( f(-1)=0 \). Entonces la tasa de cambio promedio es \( \frac{0-(-3)}{-1-(-3.5)}=\frac{3}{1.5}=2>0 \).

Step3: Analizar el intervalo \( x=-3 \) a \( x = 3 \)

Tomar \( a=-3 \), \( b = 3 \). Observando la gráfica, \( f(-3)\approx - 3 \), \( f(3)\approx - 3 \). Entonces la tasa de cambio promedio es \( \frac{-3-(-3)}{3-(-3)}=\frac{0}{6}=0 \).

Step4: Analizar el intervalo \( x = 3 \) a \( x=4.5 \)

Tomar \( a = 3 \), \( b=4.5 \). Observando la gráfica, \( f(3)\approx - 3 \), \( f(4.5)\approx4 \). Entonces la tasa de cambio promedio es \( \frac{4-(-3)}{4.5 - 3}=\frac{7}{1.5}=\frac{14}{3}>0 \).

Step5: Analizar el intervalo \( x = 0 \) a \( x=2.5 \)

Tomar \( a = 0 \), \( b=2.5 \). Observando la gráfica, \( f(0)=1 \), \( f(2.5)\approx - 3 \). Entonces la tasa de cambio promedio es \( \frac{-3 - 1}{2.5-0}=\frac{-4}{2.5}=-\frac{8}{5}<0 \).

Answer:

from \( x = 0 \) to \( x = 2.5 \)