Question

1. un pompite réalise un revenu quotidien de

r = (0.49 + 2/√x)x dollars
ou x représente le nombre de litres dessence vendu par jour. calculer le taux de variation du revenu du pompite par rapport au temps lorsque la quantité dessence vendue est de 2500 litres et que cette quantité
a) augmente de 75 litres/jour,
b) diminue de 50 litres/jour.

Explanation:

Step1: Calculer la dérivée de \(R\) par rapport à \(x\)

On a \(R=(0,49+\frac{2}{\sqrt{x}})x = 0,49x + 2x^{\frac{1}{2}}\).
La dérivée \(R^\prime(x)\) est donnée par :

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step2: Calculer \(R^\prime(2500)\)

Substituer \(x = 2500\) dans \(R^\prime(x)\) :

$$ R^\prime(2500)=0,49+\frac{1}{\sqrt{2500}}=0,49+\frac{1}{50}=0,49 + 0,02=0,51 $$

Step3: Appliquer la règle de la chaîne \(\frac{dR}{dt}=R^\prime(x)\frac{dx}{dt}\)

Cas a)

On a \(\frac{dx}{dt}=75\) (car \(x\) augmente de 75 litres/jour).
Alors \(\frac{dR}{dt}=R^\prime(2500)\times\frac{dx}{dt}=0,51\times75 = 38,25\)

Cas b)

On a \(\frac{dx}{dt}=- 50\) (car \(x\) diminue de 50 litres/jour).
Alors \(\frac{dR}{dt}=R^\prime(2500)\times\frac{dx}{dt}=0,51\times(-50)=-25,5\)

Answer:

a) \(38,25\) dollars/jour
b) \(-25,5\) dollars/jour