Question

1. trouver les équations des deux droites tangentes à la courbe définie par léquation x² - xy + y² = 4 lorsque x = 2.

Explanation:

Step1: Trouver les valeurs de y pour x = 2

En remplaçant x = 2 dans l'équation $x^{2}-xy + y^{2}=4$, on obtient:
$2^{2}-2y + y^{2}=4$
$y^{2}-2y=0$
$y(y - 2)=0$
Donc $y = 0$ ou $y = 2$.

Step2: Différencier implicitement l'équation

Différencier $x^{2}-xy + y^{2}=4$ par rapport à x.
On a: $2x-(y+xy') + 2yy'=0$.
Résoudre pour $y'$:
$2x - y-xy'+2yy'=0$
$y'(2y - x)=y - 2x$
$y'=\frac{y - 2x}{2y - x}$.

Step3: Trouver la pente des tangentes

• Pour le point $(2,0)$:

$y'=\frac{0 - 2\times2}{2\times0 - 2}=\frac{-4}{-2}=2$.
L'équation de la droite tangent à la pente - point est $y - y_1=m(x - x_1)$. Avec $(x_1,y_1)=(2,0)$ et $m = 2$, on a $y-0=2(x - 2)$, soit $y = 2x-4$.

• Pour le point $(2,2)$:

$y'=\frac{2 - 2\times2}{2\times2 - 2}=\frac{2 - 4}{4 - 2}=\frac{-2}{2}=-1$.
L'équation de la droite tangent à la pente - point est $y - 2=-1(x - 2)$, soit $y=-x + 4$.

Answer:

Les équations des droites tangentes sont $y = 2x-4$ et $y=-x + 4$.