Question

test #5
encuentra la(s) asíntota(s) vertical(es) de las siguientes funciones
racionales, si existe alguna. find the vertical asymptote(s) of the following
rational functions, if one exists.
1.
\\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 8x - 20} \\)
\\( h(t) = \frac{t^2 - 2t - 48}{t^2 + 12t + 36} \\)
2.
\\( f(x) = \frac{x + 5}{x - 2} \\)
3.

\\( x \\)	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1

vertical asymptote: limit notation of vertical asymptote:

Explanation:

Step 1: Analizar la función \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 8x - 20} \)

Para encontrar asíntotas verticales, factorizamos numerador y denominador:

• Numerador: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
• Denominador: \( x^2 - 8x - 20 \). Resolviendo la ecuación \( x^2 - 8x - 20 = 0 \) con la fórmula cuadrática \( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2} \), obtenemos \( x = 10 \) y \( x = -2 \). Así, \( x^2 - 8x - 20 = (x - 10)(x + 2) \)

Simplificamos la función: \( f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 10)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x - 10} \) (para \( x
eq -2 \)). El denominador es cero cuando \( x = 10 \), así que \( x = 10 \) es una asíntota vertical.

Step 2: Analizar la función \( h(t) = \frac{t^2 - 2t - 48}{t^2 + 12t + 36} \)

Factorizamos:

• Numerador: \( t^2 - 2t - 48 = (t - 8)(t + 6) \)
• Denominador: \( t^2 + 12t + 36 = (t + 6)^2 \)

Simplificamos: \( h(t) = \frac{(t - 8)(t + 6)}{(t + 6)^2} = \frac{t - 8}{t + 6} \) (para \( t
eq -6 \)). El denominador es cero cuando \( t = -6 \), así que \( t = -6 \) es una asíntota vertical.

Step 3: Analizar la función \( f(x) = \frac{x + 5}{x - 2} \)

El denominador es cero cuando \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \). No hay simplificación (numerador y denominador no comparten factores), así que \( x = 2 \) es una asíntota vertical.

Step 4: Analizar la tabla para \( f(x) = \frac{x + 5}{x - 2} \)

Calculamos \( f(x) \) para valores cercanos a \( x = 2 \):

• \( x = 1.9 \): \( f(1.9) = \frac{1.9 + 5}{1.9 - 2} = \frac{6.9}{-0.1} = -69 \)
• \( x = 1.99 \): \( f(1.99) = \frac{1.99 + 5}{1.99 - 2} = \frac{6.99}{-0.01} = -699 \)
• \( x = 1.999 \): \( f(1.999) = \frac{1.999 + 5}{1.999 - 2} = \frac{6.999}{-0.001} = -6999 \)
• \( x = 2.001 \): \( f(2.001) = \frac{2.001 + 5}{2.001 - 2} = \frac{7.001}{0.001} = 7001 \)
• \( x = 2.01 \): \( f(2.01) = \frac{2.01 + 5}{2.01 - 2} = \frac{7.01}{0.01} = 701 \)
• \( x = 2.1 \): \( f(2.1) = \frac{2.1 + 5}{2.1 - 2} = \frac{7.1}{0.1} = 71 \)

La función tiende a \( -\infty \) cuando \( x \to 2^- \) y a \( +\infty \) cuando \( x \to 2^+ \), confirmando que \( x = 2 \) es la asíntota vertical. La notación de límite es \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \) y \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \).

Answer:

1. Para \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 8x - 20} \): Asíntota vertical \( x = 10 \)
2. Para \( h(t) = \frac{t^2 - 2t - 48}{t^2 + 12t + 36} \): Asíntota vertical \( t = -6 \)
3. Para \( f(x) = \frac{x + 5}{x - 2} \):

• Vertical Asymptote: \( x = 2 \)
• Limit Notation: \( \lim_{x \to 2^-} \frac{x + 5}{x - 2} = -\infty \) y \( \lim_{x \to 2^+} \frac{x + 5}{x - 2} = +\infty \)