Question

suppose a normal distribution has a mean of 79 and a standard deviation of 7. what is $p(x \leq 86)$?

choice

a. 0.16
b. 0.84
c. 0.025
d. 0.975

Explanation:

Step1: Calcular el valor z

La fórmula para el valor z es $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, donde $\mu$ es la media, $\sigma$ es la desviación estándar y $x$ es el valor de interés. Aquí, $\mu = 79$, $\sigma = 7$ y $x = 86$. Entonces:
$z = \frac{86 - 79}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Step2: Usar la regla empírica para la distribución normal

La regla empírica dice que para una distribución normal, aproximadamente el 68% de los datos está dentro de 1 desviación estándar de la media, el 95% dentro de 2 y el 99.7% dentro de 3. Además, la distribución es simétrica alrededor de la media ($\mu$).

Para $z = 1$, la probabilidad de que $x \leq \mu + \sigma$ (que es $x \leq 86$ aquí, ya que $\mu + \sigma = 79 + 7 = 86$) se puede calcular considerando que la mitad de la distribución (50%) es debajo de la media, y la mitad del 68% (que es el 34%) está entre la media y 1 desviación estándar por encima. Entonces, $P(x \leq 86) = 0.5 + 0.34 = 0.84$ (o también, usando tablas de z, la probabilidad para $z = 1$ es aproximadamente 0.8413, que se redondea a 0.84).

Answer:

B. 0.84