Question

1. suppose that $\overline{eh}$ is an altitude and $m\angle ehf = (3x - 30)^circ$. find the value of $x$.

$x = \underline{\quad\quad\quad\quad}$

1. $\overline{ad}$ is a median. solve for $x$ if $bd = 3x$ and $dc = 2x + 6$. find $bc$.

$bc = \underline{\quad\quad\quad\quad}$

1. in $\triangle ace$, $p$ is the centroid, $pf = 6$, and $ad = 15$. find each measure.

$pc = \underline{\quad\quad\quad\quad}$
$ap = \underline{\quad\quad\quad\quad}$
$cf = \underline{\quad\quad\quad\quad}$

1. the line segment $\overline{yz}$ is a midsegment, $vw = 5x + 5$, and $yz = 3x$, find the length of $yz$.

$x = \underline{\quad\quad\quad\quad}$ $yz = \underline{\quad\quad\quad\quad}$

Explanation:

5.

Step1: Definición de altura

Como \(EH\) es una altura, \(\angle EHF = 90^{\circ}\).

Step2: Resolver la ecuación

Dado que \(m\angle EHF=(3x - 30)^{\circ}\), entonces \(3x-30 = 90\).
Sumando 30 a ambos lados: \(3x=90 + 30\), es decir \(3x=120\).
Dividiendo por 3: \(x=\frac{120}{3}=40\).

Step1: Definición de mediana

Como \(\overline{AD}\) es una mediana, \(BD = DC\).

Step2: Resolver la ecuación

Dado que \(BD = 3x\) y \(DC=2x + 6\), entonces \(3x=2x + 6\).
Restando \(2x\) a ambos lados: \(3x-2x=6\), es decir \(x = 6\).

Step3: Calcular \(BC\)

\(BC=BD + DC\), y como \(BD = DC\), \(BC=2BD\) (o \(2DC\)).
Sustituyendo \(x = 6\) en \(BD = 3x\), \(BD=3\times6 = 18\). Entonces \(BC=2\times18=36\).

Propiedades del centroid

En un triángulo, el centroid divide a cada mediana en una razón \(2:1\).

Calcular \(PC\)

Si \(PF = 6\), y \(PC:PF=2:1\), entonces \(PC = 2\times PF\).
\(PC=2\times6 = 12\).

Calcular \(AP\)

Si \(AD = 15\), y \(AP:PD = 2:1\), entonces \(AP=\frac{2}{3}AD\).
\(AP=\frac{2}{3}\times15 = 10\).

Calcular \(CF\)

\(CF=PC + PF\), sustituyendo \(PC = 12\) y \(PF = 6\), \(CF=12 + 6=18\).

Answer:

\(x = 40\)

6.