Question

some geometric transformations preserve shape and size. and some do not. those transformations that do preserve shape and size are known as rigid motions. rigid motions any geometric transformation that preserves the shape (angles) and size (distances) of figures in the plane is known as a rigid motion. exercise #6: triangle efg has vertices at e(2, 1), f(8, 3), and g(8, 6). two geometric transformations are defined below. f: (x, y) → (y, -x) and g: (x, y) → (\frac{-x}{2}, y + 3) (a) use f to map δefg to δefg. show where each vertex is mapped. (b) use g to map δefg to δmnp. show where each vertex is mapped. (c) which of these two transformations is a rigid motion?

Explanation:

(a)

Step1: Aplicar la transformación \( f:(x,y)\to(y, -x) \) a \( E(2,1) \)

Sustituir \( x = 2 \) y \( y = 1 \) en la fórmula \( (y, -x) \):
\( E'(1,-2) \)

Step2: Aplicar la transformación \( f:(x,y)\to(y, -x) \) a \( F(8,3) \)

Sustituir \( x = 8 \) y \( y = 3 \) en la fórmula \( (y, -x) \):
\( F'(3,-8) \)

Step3: Aplicar la transformación \( f:(x,y)\to(y, -x) \) a \( G(8,6) \)

Sustituir \( x = 8 \) y \( y = 6 \) en la fórmula \( (y, -x) \):
\( G'(6,-8) \)

Step1: Aplicar la transformación \( g:(x,y)\to(\frac{-x}{2},y + 3) \) a \( E(2,1) \)

Sustituir \( x = 2 \) y \( y = 1 \) en la fórmula \( (\frac{-x}{2},y + 3) \):
\( M'(-1,4) \)

Step2: Aplicar la transformación \( g:(x,y)\to(\frac{-x}{2},y + 3) \) a \( F(8,3) \)

Sustituir \( x = 8 \) y \( y = 3 \) en la fórmula \( (\frac{-x}{2},y + 3) \):
\( N'(-4,6) \)

Step3: Aplicar la transformación \( g:(x,y)\to(\frac{-x}{2},y + 3) \) a \( G(8,6) \)

Sustituir \( x = 8 \) y \( y = 6 \) en la fórmula \( (\frac{-x}{2},y + 3) \):
\( P'(-4,9) \)

Una transformación rígida preserva distancias y ángulos. La transformación \( f:(x,y)\to(y, -x) \) es una rotación (una transformación rígida), ya que solo cambia la orientación del triángulo sin alterar sus dimensiones (distancias entre vértices y ángulos internos). La transformación \( g:(x,y)\to(\frac{-x}{2},y + 3) \) escala la coordenada \( x \) (dividiendo por 2), lo que altera las distancias entre vértices (por ejemplo, la distancia entre \( E(2,1) \) y \( F(8,3) \) originalmente es \( \sqrt{(8 - 2)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40} \), y después de \( g \), la distancia entre \( M'(-1,4) \) y \( N'(-4,6) \) es \( \sqrt{(-4+1)^2+(6 - 4)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}
eq\sqrt{40} \)).

Answer:

\( E'(1,-2) \), \( F'(3,-8) \), \( G'(6,-8) \)

(b)