7 as shown in the diagram below, $ \overleftrightarrow{a b c} \| \overleftrightarrow{e f g} $ and $ \overline{b f} \cong \overline{e f} $. if $ m \angle c b f=42.5^{\circ} $, then $ m \angle e b f $ is 1) $ 42.5^{\circ} $ 2) $ 68.75^{\circ} $ 3) $ 95^{\circ} $ 4) $ 137.5^{\circ} $ 8 in the diagram below of triangle $ a b c, \overline{a c} $ is extended through point $ c $ to point $ d $, and $ \overline{b e} $ is drawn to $ \overline{a c} $. which equation is always true? 1) $ m \angle 1=m \angle 3+m \angle 2 $ 2) $ m \angle 5=m \angle 3-m \angle 2 $ 3) $ m \angle 6=m \angle 3-m \angle 2 $ 4) $ m \angle 7=m \angle 3+m \angle 2 $ 9 in triangle $ m a h $ below, $ \overline{m t} $ is the perpendicular bisector of $ \overline{a h} $. which statement is not always true? 1) $ \triangle m a h $ is isosceles. 2) $ \triangle m a t $ is isosceles. 3) $ \overline{m t} $ bisects $ \angle a m h $. 4) $ \angle a $ and $ \angle t m h $ are complementary. 10 in isosceles $ \triangle m n p $, line segment $ n o $ bisects vertex $ \angle m n p $, as shown below. if $ m p=16 $, find the length of $ \overline{m o} $ and explain your answer.

Question

Accepted Answer

### Problem 7
# Explanation:
## Step1: Identificar ángulos iguales
Debido a que $ \overleftrightarrow{ABC}\parallel\overleftrightarrow{EFG}$ y $ \overline{BF}\cong\overline{EF}$, $ \angle CBF=\angle EFB = 42.5^{\circ}$ (ángulos alternos internos).
## Step2: Usar la propiedad de triángulo isósceles
Como $ \overline{BF}\cong\overline{EF}$, $ \triangle BEF$ es isósceles, entonces $ \angle EBF=\angle BEF$.
## Step3: Calcular $ m\angle EBF$
Usando la suma de ángulos en un triángulo ($ m\angle EBF + m\angle BEF+m\angle EFB=180^{\circ}$), y como $ \angle EBF=\angle BEF$, entonces $ 2m\angle EBF + 42.5^{\circ}=180^{\circ}$. Resolviendo: $ 2m\angle EBF=180^{\circ}- 42.5^{\circ}=137.5^{\circ}$, $ m\angle EBF = 68.75^{\circ}$.

# Answer:
2) $ 68.75^{\circ}$

### Problem 8
# Explanation:
## Step1: Usar la propiedad de ángulo exterior
El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. Para $ \triangle BEC$, $ \angle1$ es un ángulo exterior, entonces $ m\angle1=m\angle3 + m\angle2$.

# Answer:
1) $ m\angle1=m\angle3 + m\angle2$

### Problem 9
# Explanation:
## Step1: Analizar cada opción
- **Opción 1**: Si $ \overline{MT}$ es la bisectriz perpendicular de $ \overline{AH}$, entonces $ MA = MH$ (triángulo isósceles por HL), $ \triangle MAH$ es isósceles.
- **Opción 2**: $ \triangle MAT$ no siempre es isósceles, ya que no se tiene información suficiente sobre $ MA$ y $ MT$.
- **Opción 3**: Por la propiedad de la bisectriz perpendicular en un triángulo isósceles ($ \triangle MAH$), $ \overline{MT}$ bisecta $ \angle AMH$.
- **Opción 4**: $ \angle A+\angle AMT = 90^{\circ}$ (en $ \triangle MAT$), y $ \angle AMT=\angle TMH$ (bisectriz), entonces $ \angle A$ y $ \angle TMH$ son complementarios.

# Answer:
2) $ \triangle MAT$ is isosceles.

### Problem 10
# Explanation:
## Step1: Usar la propiedad de triángulo isósceles
En un triángulo isósceles $ \triangle MNP$ donde $ NO$ bisecta $ \angle MNP$, $ NO$ es también la mediana y la altura (por la propiedad del triángulo isósceles: bisectriz del ángulo en el vértice, mediana y altura coinciden). Entonces $ MO=\frac{1}{2}MP$.

## Step2: Calcular $ MO$
Dado $ MP = 16$, entonces $ MO=\frac{16}{2}=8$.

# Answer:
$ MO = 8$, ya que en un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo en el vértice es también la mediana.

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Question

Explanation:

Problem 7

Step1: Identificar ángulos iguales

Step2: Usar la propiedad de triángulo isósceles

Step3: Calcular \( m\angle EBF\)

Step1: Usar la propiedad de ángulo exterior

Step1: Analizar cada opción

Answer:

Problem 8