Question

1. dérivez la fonction. f(x) = (x² + 1)⁵ / (3 - x)⁴

Explanation:

Step1: Appliquer la règle du quotient

$$(u/v)'=(u'v - uv')/v^{2}$$
Soit \(u=(x^{2}+1)^{5}\) et \(v=(3 - x)^{4}\)

Step2: Calculer \(u'\) et \(v'\)

• Pour \(u=(x^{2}+1)^{5}\), appliquer la règle de la chaîne: \(u' = 5(x^{2}+1)^{4}\times2x=10x(x^{2}+1)^{4}\)
• Pour \(v=(3 - x)^{4}\), appliquer la règle de la chaîne: \(v'=4(3 - x)^{3}\times(- 1)=-4(3 - x)^{3}\)

Step3: Substituer \(u\), \(u'\), \(v\) et \(v'\) dans la formule du quotient

$$f'(x)=\frac{u'v - uv'}{v^{2}}=\frac{10x(x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{4}-(x^{2}+1)^{5}\times(-4)(3 - x)^{3}}{(3 - x)^{8}}$$

Step4: Simplifier l'expression

Tirer \((x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{3}\) en facteur commun:
$$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{3}[10x(3 - x)+4(x^{2}+1)]}{(3 - x)^{8}}$$
Simplifier le numérateur et le dénominateur:
$$10x(3 - x)+4(x^{2}+1)=30x-10x^{2}+4x^{2}+4=-6x^{2}+30x + 4$$
$$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(-6x^{2}+30x + 4)}{(3 - x)^{5}}$$

Answer:

$$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(-6x^{2}+30x + 4)}{(3 - x)^{5}}$$