Question

riangle xyz is rotated 180° counterclockwise about the origin. he result is △xyz, as shown below. (a) the arrows below show that the coordinates on the left are mapped to the coordinates on the right. fill in the blanks to give the coordinates after the rotation. original coordinates → final coordinates x(1, -5) → x(□,□) y(2,1) → y(□,□) z(4, -7) → z(□,□) (b) choose the general rule below that describes the rotation mapping △xyz to △xyz. (x,y)→(-y, -x) (x,y)→(-x, -y) (x,y)→(y, -x) (x,y)→(y,x) (x,y)→(-y,x) (x,y)→(x, -y) (x,y)→(-x,y)

Explanation:

Step1: Aplicar la regla de rotación de \(180^{\circ}\)

La regla para una rotación de \(180^{\circ}\) en el plano cartesiano es \((x,y)\to(-x,-y)\).

Para el punto \(X(1, - 5)\):

Sustituir \(x = 1\) y \(y=-5\) en la regla \((x,y)\to(-x,-y)\).
\(x'=-1\), \(y' = 5\). Entonces \(X'( - 1,5)\).

Para el punto \(Y(2,1)\):

Sustituir \(x = 2\) y \(y = 1\) en la regla \((x,y)\to(-x,-y)\).
\(x'=-2\), \(y'=-1\). Entonces \(Y'(-2,-1)\).

Para el punto \(Z(4,-7)\):

Sustituir \(x = 4\) y \(y=-7\) en la regla \((x,y)\to(-x,-y)\).
\(x'=-4\), \(y' = 7\). Entonces \(Z'(-4,7)\).

Step2: Verificar la regla general

Como se vio en el paso anterior, la regla \((x,y)\to(-x,-y)\) se aplica para cada uno de los puntos \(X\), \(Y\) y \(Z\).

Answer:

(a) \(X(1,-5)\to X'(-1,5)\); \(Y(2,1)\to Y'(-2,-1)\); \(Z(4,-7)\to Z'(-4,7)\)
(b) \((x,y)\to(-x,-y)\)