Question

question
factor completely over the integers.
$x^4 + 6x^2 - 7$

Explanation:

Step1: Hacer un cambio de variable

Sea \( y = x^2 \), entonces la expresión se convierte en \( y^2 + 6y - 7 \).

Step2: Factorizar el trinomio cuadrático

Buscamos dos números que sumen 6 y se multipliquen por -7. Estos números son 7 y -1. Entonces, \( y^2 + 6y - 7=(y + 7)(y - 1) \).

Step3: Reemplazar \( y = x^2 \)

Sustituimos de vuelta \( y = x^2 \) en la factorización: \( (x^2 + 7)(x^2 - 1) \).

Step4: Factorizar \( x^2 - 1 \)

Recordamos que \( a^2 - b^2=(a + b)(a - b) \), entonces \( x^2 - 1=(x + 1)(x - 1) \).

Step5: Escribir la factorización completa

Combinamos todos los factores: \( (x^2 + 7)(x + 1)(x - 1) \).

Answer:

\( (x^2 + 7)(x + 1)(x - 1) \)