Question

questão 166

o dono de uma embarcação deve partir do ponto p e chegar ao ponto r por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1º - partir do ponto p na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto q;
2º - partir do ponto q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino r.

no entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1º - partiu do ponto p na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto s;
2º - partiu do ponto s na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto t.

a figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

o dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto t. com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto t, chegar ao ponto de destino r por meio de uma rota retilínea.

considere 0,64 como aproximação para \\(\cos 50^{\circ}\\).

a direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

a) 135 e 7 horas e 15 minutos.
b) 45 e 7 horas e 15 minutos.
c) 135 e 12 horas.
d) 135 e 6 horas.
e) 45 e 6 horas.

Explanation:

Resolução da Questão 165

Análise do gráfico de setores (pizza):
O setor correspondente ao Basquete possui um ângulo reto (\(90^\circ\)), o que representa \(\frac{1}{4}\) (ou \(25\%\)) do total de estudantes.
O número de estudantes no Basquete é \(80\).

$$ \text{Total} = 80 \times 4 = 320 $$

Resolução da Questão 166

Análise dos vetores de deslocamento com velocidade constante \(v\):

• Rota planejada:
• \(P \to Q\): direção \(110^\circ\), tempo \(4\text{ h}\). Vetor: \(\vec{d}_{PQ} = (4v \cos(-20^\circ), 4v \sin(-20^\circ))\) considerando o referencial da bússola (onde \(0^\circ\) é o Norte, sentido horário).
• \(Q \to R\): direção \(90^\circ\) (Leste), tempo \(2\text{ h}\). Vetor: \(\vec{d}_{QR} = (2v, 0)\) no referencial cartesiano padrão onde Leste é o eixo X positivo.
• Coordenadas de \(R\) a partir de \(P(0,0)\):
• Direção \(110^\circ\) equivale a \(-20^\circ\) em relação ao Leste (eixo X):

$$ x_R = 4v \cos(20^\circ) + 2v $$

$$ y_R = -4v \sin(20^\circ) $$

• Rota executada:
• \(P \to S\): direção \(340^\circ\) (equivalente a \(-20^\circ\) em relação ao Norte, ou \(110^\circ\) em relação ao Leste), tempo \(4\text{ h}\).
• Direção \(340^\circ\) equivale a \(110^\circ\) no ciclo trigonométrico padrão (Norte é \(90^\circ\), \(340^\circ\) na bússola é \(90^\circ + 20^\circ = 110^\circ\)):

$$ x_S = 4v \cos(110^\circ) = -4v \sin(20^\circ) $$

$$ y_S = 4v \sin(110^\circ) = 4v \cos(20^\circ) $$

• \(S \to T\): direção \(90^\circ\) (Leste), tempo \(2\text{ h}\).

$$ x_T = -4v \sin(20^\circ) + 2v $$

$$ y_T = 4v \cos(20^\circ) $$

• Vetor de \(T\) para \(R\) (\(\vec{d}_{TR}\)):

$$ \Delta x = x_R - x_T = (4v \cos(20^\circ) + 2v) - (-4v \sin(20^\circ) + 2v) = 4v(\cos(20^\circ) + \sin(20^\circ)) $$

$$ \Delta y = y_R - y_T = -4v \sin(20^\circ) - 4v \cos(20^\circ) = -4v(\cos(20^\circ) + \sin(20^\circ)) $$

Como \(\Delta x = -\Delta y\), o vetor aponta na direção de \(45^\circ\) abaixo do eixo X positivo (Leste).
No sistema de bússola (Norte = \(0^\circ\), Leste = \(90^\circ\), Sul = \(180^\circ\)):
A direção de \(45^\circ\) abaixo do Leste corresponde a:

$$ 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ $$

• Distância \(TR\):

$$ TR = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2} \cdot 4v(\cos(20^\circ) + \sin(20^\circ)) $$

Utilizando as aproximações trigonométricas:
Se \(\cos(50^\circ) \approx 0,64\), então \(\sin(40^\circ) \approx 0,64\).
Sabemos que \(\cos(20^\circ) \approx 0,94\) e \(\sin(20^\circ) \approx 0,34\).

$$ \cos(20^\circ) + \sin(20^\circ) \approx 0,94 + 0,34 = 1,28 $$

$$ TR \approx 1,41 \times 4v \times 1,28 \approx 7,22v $$

Como a velocidade é \(v\), o tempo necessário \(t\) é:

$$ t = \frac{TR}{v} \approx 7,22\text{ horas} \approx 7\text{ horas e } 13\text{ minutos} $$

O valor mais próximo é \(7\text{ horas e } 15\text{ minutos}\).

Answer:

Questão 165

C

Questão 166

A