Question

a parabola can be drawn given a focus of $(-10,4)$ and a directrix of $x=-6$. write the equation of the parabola in any form.

Explanation:

Step1: Calcular la coordenada \(h\) del vértice

El vértice de una parábola está a la mitad entre el foco y la directriz. Dado que el foco es \((- 10,4)\) y la directriz es \(x=-6\), la fórmula para \(h\) (coordenada \(x\) del vértice) es \(h=\frac{-10 + (-6)}{2}=\frac{-10-6}{2}=\frac{-16}{2}=-8\). La coordenada \(y\) del vértice es la misma que la del foco, es decir \(k = 4\). Entonces, el vértice es \((h,k)=(-8,4)\).

Step2: Calcular el valor de \(p\)

El valor de \(p\) es la distancia entre el vértice y el foco (o la directriz). \(p=-10-(-8)=-2\) (ya que la parábola se abre hacia la izquierda, \(p<0\)).

Step3: Escribir la ecuación de la parábola

La ecuación de una parábola en forma estándar que se abre horizontalmente es \((y - k)^{2}=4p(x - h)\). Sustituyendo \(h=-8\), \(k = 4\) y \(p=-2\) obtenemos:
\((y - 4)^{2}=4\times(-2)(x + 8)\)
\((y - 4)^{2}=-8(x + 8)\)

Answer:

\((y - 4)^{2}=-8(x + 8)\)