Question

$$ lim _ { x ightarrow 0 } \frac { e ^ { \tan x } - e ^ { sin x } } { x - sin x } $$

Explanation:

Step1: 提取公因式

$$\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{x - \sin x}&=\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}(e^{\tan x-\sin x}-1)}{x - \sin x} \end{align*}$$

当$x\to0$时，$e^{u}-1\sim u$（$u = \tan x-\sin x$），则原式变为$\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}(\tan x-\sin x)}{x - \sin x}$。
因为$\lim_{x\to0}e^{\sin x}=e^0 = 1$，所以只需求$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x - \sin x}$。

Step2: 化简分子

$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)=\frac{\sin x(1 - \cos x)}{\cos x}$。
当$x\to0$时，$1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}$，$\sin x\sim x$，则$\tan x-\sin x\sim\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^{2}}{\cos x}$（$x\to0$时，$\cos x\to1$，可近似看作$1$），即$\tan x-\sin x\sim\frac{1}{2}x^{3}$。

Step3: 求极限

$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x - \sin x}$，当$x\to0$时，$x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3}$（根据泰勒展开$\sin x=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})$）。
所以$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x - \sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^{3}}{\frac{1}{6}x^{3}} = 3$。

Answer:

$3$