Question

look at the system of inequalities.
$y \geq x$
$y \geq -x + 10$
$y \leq \frac{1}{3}x + 6$
the solution set is the triangular region where all the inequalities are true.
what are the vertices of that triangular region?
(\boxed{ }, \boxed{ })
(\boxed{ }, \boxed{ })
(\boxed{ }, \boxed{ })

Explanation:

Step1: Encontrar intersección de \( y = x \) y \( y = -x + 10 \)

Igualamos las ecuaciones: \( x = -x + 10 \)
Sumamos \( x \) a ambos lados: \( 2x = 10 \)
Dividimos por 2: \( x = 5 \)
Sustituimos \( x = 5 \) en \( y = x \): \( y = 5 \)
Punto: \( (5, 5) \)

Step2: Encontrar intersección de \( y = -x + 10 \) y \( y = \frac{1}{3}x + 6 \)

Igualamos: \( -x + 10 = \frac{1}{3}x + 6 \)
Sumamos \( x \) a ambos lados: \( 10 = \frac{4}{3}x + 6 \)
Restamos 6: \( 4 = \frac{4}{3}x \)
Multiplicamos por \( \frac{3}{4} \): \( x = 3 \)
Sustituimos \( x = 3 \) en \( y = -x + 10 \): \( y = -3 + 10 = 7 \)
Punto: \( (3, 7) \)

Step3: Encontrar intersección de \( y = x \) y \( y = \frac{1}{3}x + 6 \)

Igualamos: \( x = \frac{1}{3}x + 6 \)
Restamos \( \frac{1}{3}x \): \( \frac{2}{3}x = 6 \)
Multiplicamos por \( \frac{3}{2} \): \( x = 9 \)
Sustituimos \( x = 9 \) en \( y = x \): \( y = 9 \)
Punto: \( (9, 9) \)

Answer:

\( (5, 5) \), \( (3, 7) \), \( (9, 9) \)