Question

1. le taux de croissance des arêtes dun cube est de 2 cm/min. calculer le taux de croissance du volum du cube par rapport au temps lorsque la longueur dune arête est de 12 cm.

Explanation:

Step1: Écrire la formule du volume d'un cube

Soit \( x \) la longueur d'une arête du cube. Le volume \( V \) du cube est donné par \( V = x^{3} \).

Step2: Différencier par rapport au temps \( t \)

En utilisant la règle de la chaîne, on a \( \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\times\frac{dx}{dt} \).
Calculer \( \frac{dV}{dx} \): \( \frac{dV}{dx} = 3x^{2} \).
On sait que \( \frac{dx}{dt}=2\space cm/min \).

Step3: Substituer les valeurs

Quand \( x = 12\space cm \), \( \frac{dV}{dx}=3\times(12)^{2}=3\times144 = 432 \).
Alors \( \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\times\frac{dx}{dt}=432\times2 \).

Answer:

\( 864\space cm^{3}/min \)