Question

1. jayden is making an open - top box by cutting squares out of the corners of a piece of paper that is 11 inches wide and 14 inches long, and folding up the sides. if the side length of his square cutouts are x inches, that the volume of the box is given by v(x)=x(11 - 2x)(14 - 2x). jayden graphs the volume of the box along the function b(x)=100. a. what is a reasonable domain for v in this context? __<x<__ b. to the nearest whole number of inches, approximately which value of x will give him the box with the greatest volume? c. based on your domain restriction you gave previously, for approximately which values of x is the volume of the box increasing? d. what do the points of intersection, within the restricted domain of these two graphs, represent in terms of the box? (which point(s) is/are meaningful?)

Explanation:

Step1: Encontrar el dominio límite inferior

El lado - longitud $x$ debe ser mayor que 0, ya que no se puede cortar un tamaño negativo de los cuadrados en las esquinas. Entonces $x>0$.

Step2: Encontrar el dominio límite superior

El lado - longitud $x$ está limitado por la menor dimensión del papel. Si cortamos $2x$ de la dimensión de 11 pulgadas (ya que cortamos $x$ de cada lado), entonces $11−2x > 0$. Resolviendo $11−2x>0$ da $2x<11$, o $x < 5.5$.

Step3: Expandir la función de volumen

$V(x)=x(11 - 2x)(14 - 2x)=x(154-22x - 28x+4x^{2})=x(154 - 50x+4x^{2})=4x^{3}-50x^{2}+154x$.

Step4: Encontrar el máximo de la función de volumen

Tomamos la derivada de $V(x)$: $V^\prime(x)=12x^{2}-100x + 154$. Igualamos $V^\prime(x)$ a 0 y resolvemos para $x$ usando la fórmula cuadrática $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ para la ecuación $12x^{2}-100x + 154 = 0$, donde $a = 12$, $b=-100$ y $c = 154$.
$x=\frac{100\pm\sqrt{(-100)^{2}-4\times12\times154}}{2\times12}=\frac{100\pm\sqrt{10000 - 7392}}{24}=\frac{100\pm\sqrt{2608}}{24}=\frac{100\pm51.07}{24}$. Los valores son $x_1=\frac{100 + 51.07}{24}\approx6.29$ y $x_2=\frac{100 - 51.07}{24}\approx2.04$. Pero solo $x = 2.04$ está dentro del dominio $0

Step5: Analizar el crecimiento de la función de volumen

Tomamos la segunda - derivada $V^{\prime\prime}(x)=24x-100$. Evaluamos $V^\prime(x)$ en puntos dentro del dominio. Podemos probar valores en el dominio $00$, la función está creciendo.

Step6: Interpretar los puntos de intersección

Los puntos de intersección de $V(x)$ y $B(x)=100$ representan los valores de $x$ para los cuales el volumen del cajón es de 100 pulgadas cúbicas.

Answer:

a. $0b. $x = 2$
c. La función $V(x)$ está creciendo en un intervalo donde $V^\prime(x)>0$. Resolviendo $12x^{2}-100x + 154>0$ y considerando el dominio $0d. Los puntos de intersección representan los valores de $x$ para los cuales el volumen del cajón es de 100 pulgadas cúbicas. Los puntos dentro del dominio $0