Question

identify the domain and range of each. then sketch the graph.

$y = -2\sqrt3{x + 3} - 3$

1. graph 1 with domain (all real numbers) and range (all real numbers)
2. graph 2 with domain $x \geq -1$ and range $y \geq -1$
3. graph 3 with domain (all real numbers) and range (all real numbers)
4. graph 4 with domain (all real numbers) and range (all real numbers)

Explanation:

Step 1: Analizar el dominio de la función \( y = - 2\sqrt[3]{x + 3}-3 \)

La función \( y=\sqrt[3]{u} \) tiene dominio \( u\in\mathbb{R} \). Aquí \( u=x + 3 \), y como \( x+3\in\mathbb{R} \) para todo \( x\in\mathbb{R} \), el dominio de \( y=-2\sqrt[3]{x + 3}-3 \) es \( \{x|x\in\mathbb{R}\} \) (todos los números reales).

Step 2: Analizar la rango de la función \( y = - 2\sqrt[3]{x + 3}-3 \)

La función \( y=\sqrt[3]{u} \) tiene rango \( y\in\mathbb{R} \). Sea \( t=\sqrt[3]{x + 3} \), entonces \( y=-2t-3 \). Como \( t\in\mathbb{R} \), y la función \( y=-2t - 3 \) es una función lineal (degradada) en \( t \), el rango de \( y \) es \( \{y|y\in\mathbb{R}\} \) (todos los números reales).

Step 3: Analizar la transformación de la función \( y=\sqrt[3]{x} \)

La función \( y=\sqrt[3]{x} \) se transforma en \( y=-2\sqrt[3]{x + 3}-3 \).

• \( y=\sqrt[3]{x}\to y=\sqrt[3]{x + 3} \): traslación horizontal 3 unidades hacia la izquierda.
• \( y=\sqrt[3]{x + 3}\to y=-2\sqrt[3]{x + 3} \): reflejo en el eje \( x \) (debido al signo negativo) y estiramiento vertical por un factor de 2.
• \( y=-2\sqrt[3]{x + 3}\to y=-2\sqrt[3]{x + 3}-3 \): traslación vertical 3 unidades hacia abajo.

Answer:

La primera opción (con dominio y rango todos los números reales) es la correcta.