Question

1. hallar el conjunto solución de la ecuación \\(49.7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1\\)\
2. si \\(a(x) = \log(x - 1)\\) y \\(b(x) = \log x\\), ¿para qué valores de la variable se cumple que \\(a(x) + \log 4 = b(x)\\)?

Explanation:

Problema 2: Hallar el conjunto solución de \( 49 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 \)

Explicación:

Nuestro objetivo es resolver la ecuación exponencial dada. Primero, expresamos \( 49 \) como una potencia de \( 7 \), ya que \( 49 = 7^2 \). Luego, usamos las propiedades de las potencias para simplificar y resolver para \( x \).

Paso 1: Escribir \( 49 \) como \( 7^2 \)

La ecuación original es:

$$ 49 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Sustituimos \( 49 \) por \( 7^2 \):

$$ 7^2 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Paso 2: Usar la propiedad de exponentes \( a^m \cdot a^n = a^{m + n} \)

Al aplicar la propiedad de exponentes, sumamos los exponentes:

$$ 7^{2 + \frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Sabemos que \( 7^0 = 1 \), por lo tanto, el exponente debe ser igual a \( 0 \):

$$ 2 + \frac{x^2}{x - 4} = 0 $$

Paso 3: Resolver la ecuación racional

Multiplicamos ambos lados por \( x - 4 \) (teniendo en cuenta que \( x
eq 4 \)) para eliminar el denominador:

$$ 2(x - 4) + x^2 = 0 $$

Expandimos y simplificamos:

$$ 2x - 8 + x^2 = 0 $$

Reordenamos los términos:

$$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$

Paso 4: Factorizar el trinomio cuadrático

Factorizamos \( x^2 + 2x - 8 \). Buscamos dos números que sumen \( 2 \) y se multipliquen por \( -8 \). Estos números son \( 4 \) y \( -2 \):

$$ (x + 4)(x - 2) = 0 $$

Paso 5: Encontrar las soluciones

Igualamos cada factor a cero:

$$ x + 4 = 0 \implies x = -4 $$

$$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$

Ahora, verificamos que estas soluciones no hagan que el denominador de la fracción original sea cero. Para \( x = -4 \) y \( x = 2 \), \( x - 4
eq 0 \), por lo tanto, ambas son válidas.

Respuesta del Problema 2:

El conjunto solución es \( \{-4, 2\} \)

Problema 3: Determinar para qué valores de \( x \) se cumple \( A(x) + \log 4 = B(x) \), donde \( A(x) = \log(x - 1) \) y \( B(x) = \log x \)

Explicación:

Nuestro objetivo es resolver la ecuación \( \log(x - 1) + \log 4 = \log x \). Usamos las propiedades de los logaritmos para simplificar y encontrar los valores de \( x \) que satisfacen la ecuación.

Paso 1: Usar la propiedad de logaritmos \( \log a + \log b = \log(ab) \)

Aplicamos la propiedad de los logaritmos a la izquierda:

$$ \log(4(x - 1)) = \log x $$

Paso 2: Eliminar los logaritmos (suponiendo que la función logaritmo es inyectiva)

Si \( \log a = \log b \), entonces \( a = b \) (para \( a, b > 0 \)). Por lo tanto:

$$ 4(x - 1) = x $$

Paso 3: Resolver la ecuación lineal

Expandimos y simplificamos:

$$ 4x - 4 = x $$

Restamos \( x \) de ambos lados:

$$ 3x - 4 = 0 $$

Sumamos \( 4 \) a ambos lados:

$$ 3x = 4 $$

Dividimos por \( 3 \):

$$ x = \frac{4}{3} $$

Paso 4: Verificar las restricciones de los logaritmos

Los logaritmos están definidos solo para argumentos positivos. Por lo tanto:

• Para \( A(x) = \log(x - 1) \): \( x - 1 > 0 \implies x > 1 \)
• Para \( B(x) = \log x \): \( x > 0 \)
• Para \( \log 4 \): está definido (ya que \( 4 > 0 \))

Verificamos \( x = \frac{4}{3} \):

• \( x - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} > 0 \)
• \( x = \frac{4}{3} > 0 \)

Por lo tanto, \( x = \frac{4}{3} \) es una solución válida.

Respuesta del Problema 3:

El valor de \( x \) que satisface la ecuación es \( \frac{4}{3} \)

Answer:

Problema 2: Hallar el conjunto solución de \( 49 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 \)

Explicación:

Nuestro objetivo es resolver la ecuación exponencial dada. Primero, expresamos \( 49 \) como una potencia de \( 7 \), ya que \( 49 = 7^2 \). Luego, usamos las propiedades de las potencias para simplificar y resolver para \( x \).

Paso 1: Escribir \( 49 \) como \( 7^2 \)

La ecuación original es:

$$ 49 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Sustituimos \( 49 \) por \( 7^2 \):

$$ 7^2 \cdot 7^{\frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Paso 2: Usar la propiedad de exponentes \( a^m \cdot a^n = a^{m + n} \)

Al aplicar la propiedad de exponentes, sumamos los exponentes:

$$ 7^{2 + \frac{x^2}{x - 4}} = 1 $$

Sabemos que \( 7^0 = 1 \), por lo tanto, el exponente debe ser igual a \( 0 \):

$$ 2 + \frac{x^2}{x - 4} = 0 $$

Paso 3: Resolver la ecuación racional

Multiplicamos ambos lados por \( x - 4 \) (teniendo en cuenta que \( x
eq 4 \)) para eliminar el denominador:

$$ 2(x - 4) + x^2 = 0 $$

Expandimos y simplificamos:

$$ 2x - 8 + x^2 = 0 $$

Reordenamos los términos:

$$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$

Paso 4: Factorizar el trinomio cuadrático

Factorizamos \( x^2 + 2x - 8 \). Buscamos dos números que sumen \( 2 \) y se multipliquen por \( -8 \). Estos números son \( 4 \) y \( -2 \):

$$ (x + 4)(x - 2) = 0 $$

Paso 5: Encontrar las soluciones

Igualamos cada factor a cero:

$$ x + 4 = 0 \implies x = -4 $$

$$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$

Ahora, verificamos que estas soluciones no hagan que el denominador de la fracción original sea cero. Para \( x = -4 \) y \( x = 2 \), \( x - 4
eq 0 \), por lo tanto, ambas son válidas.

Respuesta del Problema 2:

El conjunto solución es \( \{-4, 2\} \)

Problema 3: Determinar para qué valores de \( x \) se cumple \( A(x) + \log 4 = B(x) \), donde \( A(x) = \log(x - 1) \) y \( B(x) = \log x \)

Explicación:

Nuestro objetivo es resolver la ecuación \( \log(x - 1) + \log 4 = \log x \). Usamos las propiedades de los logaritmos para simplificar y encontrar los valores de \( x \) que satisfacen la ecuación.

Paso 1: Usar la propiedad de logaritmos \( \log a + \log b = \log(ab) \)

Aplicamos la propiedad de los logaritmos a la izquierda:

$$ \log(4(x - 1)) = \log x $$

Paso 2: Eliminar los logaritmos (suponiendo que la función logaritmo es inyectiva)

Si \( \log a = \log b \), entonces \( a = b \) (para \( a, b > 0 \)). Por lo tanto:

$$ 4(x - 1) = x $$

Paso 3: Resolver la ecuación lineal

Expandimos y simplificamos:

$$ 4x - 4 = x $$

Restamos \( x \) de ambos lados:

$$ 3x - 4 = 0 $$

Sumamos \( 4 \) a ambos lados:

$$ 3x = 4 $$

Dividimos por \( 3 \):

$$ x = \frac{4}{3} $$

Paso 4: Verificar las restricciones de los logaritmos

Los logaritmos están definidos solo para argumentos positivos. Por lo tanto:

• Para \( A(x) = \log(x - 1) \): \( x - 1 > 0 \implies x > 1 \)
• Para \( B(x) = \log x \): \( x > 0 \)
• Para \( \log 4 \): está definido (ya que \( 4 > 0 \))

Verificamos \( x = \frac{4}{3} \):

• \( x - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} > 0 \)
• \( x = \frac{4}{3} > 0 \)

Por lo tanto, \( x = \frac{4}{3} \) es una solución válida.

Respuesta del Problema 3:

El valor de \( x \) que satisface la ecuación es \( \frac{4}{3} \)