Question

1. graph the rational function $y = \frac{x - 1}{x - 2}$. both branches of the rational function pass through which quadrant?

options:
quadrant 2
quadrant 3
quadrant 1
quadrant 4

Explanation:

Step1: Analizar la función racional \( y = \frac{x - 1}{x - 2} \)

Primero, identificamos el dominio: \( x
eq 2 \) (asíntota vertical). La asíntota horizontal se obtiene dividiendo coeficientes de \( x \): \( y = \frac{1}{1} = 1 \) (asíntota horizontal \( y = 1 \)).

Step2: Analizar intervalos de \( x \)

• **Para \( x < 2 \) (ejemplo: \( x = 0 \)): \( y = \frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \) (positivo, \( y < 1 \) ya que \( \frac{1}{2} < 1 \)). Entonces, en \( x < 2 \), la gráfica está en el primer cuadrante? No, \( x < 2 \) puede ser \( x < 2 \) (ejemplo \( x = 0 \) está en cuadrante 4? No, \( x = 0, y = 1/2 \) está en cuadrante 1? Wait, \( x = 0 \) (eje \( y \) negativo? No, \( x = 0 \) es eje \( y \), \( y = 1/2 \) es positivo, así que (0, 1/2) está en cuadrante 1? Wait, no: cuadrante 1 es \( x > 0, y > 0 \); cuadrante 2 \( x < 0, y > 0 \); cuadrante 3 \( x < 0, y < 0 \); cuadrante 4 \( x > 0, y < 0 \).

Wait, mejor: descomponer la función: \( y = \frac{x - 1}{x - 2} = 1 + \frac{1}{x - 2} \) (división de polinomios). Así, es una transformación de \( y = \frac{1}{x} \): desplazada 2 unidades a la derecha y 1 unidad arriba.

La función \( y = \frac{1}{x} \) tiene ramas en cuadrantes 1 y 3. Al desplazar 2 a la derecha y 1 arriba:

• La rama que estaba en cuadrante 1 (\( x > 0, y > 0 \)) se desplaza a \( x > 2 \) (ya que \( x - 2 > 0 \)) y \( y > 1 \) (por la traslación arriba).
• La rama que estaba en cuadrante 3 (\( x < 0, y < 0 \)) se desplaza a \( x < 2 \) ( \( x - 2 < 0 \)) y \( y < 1 \) (por la traslación arriba). Ahora, para \( x < 2 \), si \( x < 1 \) (ejemplo \( x = 0 \)): \( y = \frac{0 - 1}{0 - 2} = 1/2 \) (positivo), así que en \( x < 2 \), cuando \( x < 1 \), \( y \) es positivo? Wait, no: \( x = 1.5 \) (entre 1 y 2): \( y = \frac{1.5 - 1}{1.5 - 2} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 \) (negativo). Entonces:

• Para \( x > 2 \): \( x - 2 > 0 \), \( x - 1 \) cuando \( x > 2 \), \( x - 1 > 1 > 0 \), así que \( y > 0 \), y \( y = 1 + \frac{1}{x - 2} \), así que \( y > 1 \). Entonces, en \( x > 2 \), \( x > 2 \) (positivo) y \( y > 1 \) (positivo), así que está en cuadrante 1.

• Para \( x < 2 \): \( x - 2 < 0 \), \( x - 1 \): si \( x < 1 \), \( x - 1 < 0 \), así que \( y = \frac{negativo}{negativo} = positivo \); si \( 1 < x < 2 \), \( x - 1 > 0 \), \( x - 2 < 0 \), así que \( y = \frac{positivo}{negativo} = negativo \).

Así, la rama en \( x < 2 \):

• Cuando \( x < 1 \): \( x < 0 \) (cuadrante 2: \( x < 0, y > 0 \)) o \( 0 < x < 1 \) (cuadrante 1: \( x > 0, y > 0 \)).
• Cuando \( 1 < x < 2 \): \( x > 0 \), \( y < 0 \) (cuadrante 4: \( x > 0, y < 0 \)).

La rama en \( x > 2 \): \( x > 2 \), \( y > 1 \) (cuadrante 1: \( x > 0, y > 0 \)).

Ahora, revisar si ambas ramas pasan por un cuadrante. La rama en \( x > 2 \) está en cuadrante 1. La rama en \( x < 2 \): cuando \( 0 < x < 1 \), está en cuadrante 1 ( \( x > 0, y > 0 \) ). Cuando \( x < 0 \), está en cuadrante 2 ( \( x < 0, y > 0 \) ). Cuando \( 1 < x < 2 \), está en cuadrante 4 ( \( x > 0, y < 0 \) ).

Wait, la pregunta es "both branches of the rational function pass through which quadrant?" (ambas ramas pasan por qué cuadrante).

Rama 1: \( x > 2 \): cuadrante 1 ( \( x > 0, y > 0 \) ).

Rama 2: \( x < 2 \):

• Cuando \( 0 < x < 1 \): \( x > 0, y > 0 \) (cuadrante 1).
• Cuando \( x < 0 \): \( x < 0, y > 0 \) (cuadrante 2).
• Cuando \( 1 < x < 2 \): \( x > 0, y < 0 \) (cuadrante 4).

Así, ambas ramas pasan por el cuadrante 1: la rama \( x > 2 \) está en cuadrante 1, y la rama \( x < 2 \) (para \( 0 < x < 1 \)) también está en cuadrante 1.

Answer:

Quadrant 1