Question

graph each equation.

1. \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1

Explanation:

识别椭圆的标准方程

给定方程为：

$$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 $$

这是一个中心在原点 \((0,0)\) 的椭圆标准方程：

$$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b) $$

确定椭圆的几何参数

对比标准方程，我们有：

$$ b^2 = 4 \implies b = 2 $$

$$ a^2 = 9 \implies a = 3 $$

因为 \(y\) 分母较大，该椭圆的焦点在 \(y\) 轴上（立式椭圆）。

确定顶点与共轭轴端点

椭圆的顶点（长轴端点）位于 \(y\) 轴：

$$ (0, a) = (0, 3) \quad \text{和} \quad (0, -a) = (0, -3) $$

椭圆的共轭轴端点（短轴端点）位于 \(x\) 轴：

$$ (b, 0) = (2, 0) \quad \text{和} \quad (-b, 0) = (-2, 0) $$

绘制椭圆图形

在坐标系中描出以下四个关键点：

• \((0, 3)\)
• \((0, -3)\)
• \((2, 0)\)
• \((-2, 0)\)

用平滑的曲线将这四个点连接，形成一个中心在原点、长轴长为 \(6\)、短轴长为 \(4\) 的竖直椭圆。

Answer:

方程 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) 代表一个中心在原点 \((0,0)\) 的竖直椭圆。

其关键特征点如下：

• 中心：\((0, 0)\)
• 顶点（长轴端点）：\((0, 3)\) 与 \((0, -3)\)
• 共轭轴端点（短轴端点）：\((2, 0)\) 与 \((-2, 0)\)

在坐标系中描出这四个点 \((0, 3)\)、\((0, -3)\)、\((2, 0)\)、\((-2, 0)\) 并用平滑的曲线连接，即可得到该椭圆的图形。