Question

1 given the end - points a=(5, - 2) and b=(0,3) of line segment ab, what are the coordinates of the point p that divides segment ab in the ratio 3:2 from point b?
2 given the end - points a=(2,1) and b=(6,9) of line segment ab, what are the coordinates of the point p that divides segment ab in the ratio 3:1 from point a?
3 if the point p is located $\frac{2}{3}$ of the way along segment ab from point a, what are the coordinates of point p if a=( - 3,4) and b=(6,1) are the end - points of segment ab?
4 if the point p is located $\frac{1}{4}$ of the way along segment ab from point b, what are the coordinates of point p if a=(5, - 1) and b=( - 3,7) are the end - points of segment ab?
5 a point p=(7,1) divides segment ab in a ratio of 2:1 from end - point a=(5,3). what are the coordinates of point b?
6 a point p=(4,2) divides segment ab in a ratio of 1:3 from end - point b=(6,3). what are the coordinates of point a?

Explanation:

Step1: 선분을 내분하는 점의 좌표 공식 정리

선분 $AB$를 $m:n$의 비로 $A(x_1,y_1)$에서 $B(x_2,y_2)$ 방향으로 내분하는 점 $P$의 좌표는 $P(\frac{mx_2+nx_1}{m + n},\frac{my_2+ny_1}{m + n})$입니다.

Step2: 1번 문제 풀이

$A=(5, - 2), B=(0,3)$이며, $B$에서 $A$ 방향으로 $3:2$로 내분합니다. $x_1 = 5, y_1=-2, x_2 = 0, y_2 = 3, m = 3, n = 2$로 대입하면,
$x=\frac{3\times5+2\times0}{3 + 2}=\frac{15}{5}=3$,
$y=\frac{3\times(-2)+2\times3}{3 + 2}=\frac{-6 + 6}{5}=0$.
따라서 $P=(3,0)$.

Step3: 2번 문제 풀이

$A=(2,1), B=(6,9)$이며, $A$에서 $B$ 방향으로 $3:1$로 내분합니다. $x_1 = 2, y_1 = 1, x_2 = 6, y_2 = 9, m = 3, n = 1$로 대입하면,
$x=\frac{3\times6+1\times2}{3 + 1}=\frac{18+2}{4}=5$,
$y=\frac{3\times9+1\times1}{3 + 1}=\frac{27 + 1}{4}=7$.
따라서 $P=(5,7)$.

Step4: 3번 문제 풀이

$A=(-3,4), B=(6,1)$이며, $A$에서 $B$ 방향으로 $\frac{2}{3}$의 거리에 위치하므로 $2:1$ 비율로 내분합니다. $x_1=-3, y_1 = 4, x_2 = 6, y_2 = 1, m = 2, n = 1$로 대입하면,
$x=\frac{2\times6+1\times(-3)}{2 + 1}=\frac{12-3}{3}=3$,
$y=\frac{2\times1+1\times4}{2 + 1}=\frac{2 + 4}{3}=2$.
따라서 $P=(3,2)$.

Step5: 4번 문제 풀이

$A=(5,-1), B=(-3,7)$이며, $B$에서 $A$ 방향으로 $\frac{1}{4}$의 거리에 위치하므로 $1:3$ 비율로 내분합니다. $x_1 = 5, y_1=-1, x_2=-3, y_2 = 7, m = 1, n = 3$로 대입하면,
$x=\frac{1\times5+3\times(-3)}{1 + 3}=\frac{5-9}{4}=-1$,
$y=\frac{1\times(-1)+3\times7}{1 + 3}=\frac{-1 + 21}{4}=5$.
따라서 $P=(-1,5)$.

Step6: 5번 문제 풀이

$A=(5,3), P=(7,1)$이며, $A$에서 $B$ 방향으로 $2:1$로 내분합니다. $B$의 좌표를 $(x,y)$라고 하자.
$7=\frac{2x+1\times5}{2 + 1}$, $21 = 2x+5$, $2x=16$, $x = 8$;
$1=\frac{2y+1\times3}{2 + 1}$, $3 = 2y+3$, $2y=0$, $y = 0$.
따라서 $B=(8,0)$.

Step7: 6번 문제 풀이

$B=(6,3), P=(4,2)$이며, $B$에서 $A$ 방향으로 $1:3$로 내분합니다. $A$의 좌표를 $(x,y)$라고 하자.
$4=\frac{1\times x+3\times6}{1 + 3}$, $16=x + 18$, $x=-2$;
$2=\frac{1\times y+3\times3}{1 + 3}$, $8=y + 9$, $y=-1$.
따라서 $A=(-2,-1)$.

Answer:

1. $P=(3,0)$
2. $P=(5,7)$
3. $P=(3,2)$
4. $P=(-1,5)$
5. $B=(8,0)$
6. $A=(-2,-1)$