ec2 : probabilité et statistique inférentielle 10pts

1. dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer lévénement contraire de lévénement donné.
(1.1) $a$ : \il triche et il na pas honte\
$\overline{a}$ : ...................................................................................................................................................... (1pt)
(1.2) $b$ : \chaque foyer camerounais na pas plus de deux voitures\
$\overline{b}$ : ...................................................................................................................................................... (1pt)

2. soient $a$ et $b$ deux événements indépendants tels que $p(a \cap b) = 0,2$ et $p(b) = 0,5$.
a) $p(a) = \dots\dots\dots\dots\dots$, b) $p(\overline{b}) = \dots\dots\dots\dots\dots$, c) $p(a/b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1+0,5+1,5pts)

3. une urne contient 10 boules dont 7 blanches et 3 noires. on tire successivement et sans remise deux boules de lurne. soit $a$ lévénement \la deuxième boule tirée est blanche\, et $b$ lévénement \la première boule tirée est noire\. on désigne par $\omega$ lunivers associé à cette expérience aléatoire. on note $p(a)$, $p(b)$ et $p(a \cap b)$ la probabilité des événements $a$, $b$ et $a \cap b$ respectivement.
3.1) le cardinal de lunivers $\omega$ est $\text{card}(\omega) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1 pt)
3.2) on a les probabilités suivantes :
a) $p(a) = \dots\dots\dots\dots\dots$ ; b) $p(b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ ; c) $p(a \cap b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1+0,5+1 pts)

Question

ec2 : probabilité et statistique inférentielle 10pts

1. dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer lévénement contraire de lévénement donné.
(1.1) $a$ : \il triche et il na pas honte\
$\overline{a}$ : ...................................................................................................................................................... (1pt)
(1.2) $b$ : \chaque foyer camerounais na pas plus de deux voitures\
$\overline{b}$ : ...................................................................................................................................................... (1pt)

2. soient $a$ et $b$ deux événements indépendants tels que $p(a \cap b) = 0,2$ et $p(b) = 0,5$.
a) $p(a) = \dots\dots\dots\dots\dots$, b) $p(\overline{b}) = \dots\dots\dots\dots\dots$, c) $p(a/b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1+0,5+1,5pts)

3. une urne contient 10 boules dont 7 blanches et 3 noires. on tire successivement et sans remise deux boules de lurne. soit $a$ lévénement \la deuxième boule tirée est blanche\, et $b$ lévénement \la première boule tirée est noire\. on désigne par $\omega$ lunivers associé à cette expérience aléatoire. on note $p(a)$, $p(b)$ et $p(a \cap b)$ la probabilité des événements $a$, $b$ et $a \cap b$ respectivement.
3.1) le cardinal de lunivers $\omega$ est $\text{card}(\omega) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1 pt)
3.2) on a les probabilités suivantes :
a) $p(a) = \dots\dots\dots\dots\dots$ ; b) $p(b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ ; c) $p(a \cap b) = \dots\dots\dots\dots\dots$ (1+0,5+1 pts)

Accepted Answer

# Explanation:

🆕 Nouveau concept : Lois de De Morgan et négation logique
*La négation d'un "ET" devient un "OU" avec les contraires.*

🆕 Nouveau concept : Indépendance et probabilités conditionnelles
*Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas l'autre.*

---

## Step 1: Événements contraires (Question 1)

Pour trouver l'événement contraire (la négation logique) :
* Pour $ A $ : "Il triche **et** il n'a pas honte". La négation d'une conjonction $ (P \text{ et } Q) $ est $ (\text{non } P \text{ ou } \text{non } Q) $ d'après les lois de De Morgan.
  * Non $ P $ : "Il ne triche pas"
  * Non $ Q $ : "Il a honte"
  * $ \overline{A} $ : "Il ne triche pas ou il a honte"

* Pour $ B $ : "Chaque foyer camerounais n'a pas plus de deux voitures" (ce qui signifie que tous les foyers ont au maximum 2 voitures). La négation de "Chaque" (pour tout) est "Il existe au moins un" (il existe), et la négation de "pas plus de deux" ($ \le 2 $) est "strictement plus de deux" ($ > 2 $, soit au moins trois).
  * $ \overline{B} $ : "Au moins un foyer camerounais a plus de deux voitures" (ou "au moins trois voitures").

---

## Step 2: Calculs avec des événements indépendants (Question 2)

Sachant que $ A $ et $ B $ sont indépendants, nous avons les propriétés suivantes :
* $ p(A \cap B) = p(A) \times p(B) $
* $ p(A/B) = p(A) $

Données : $ p(A \cap B) = 0,2 $ et $ p(B) = 0,5 $.

* **a) Calcul de $ p(A) $ :**
  $$
  p(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4
  $$

* **b) Calcul de $ p(\overline{B}) $ :**
  $$
  p(\overline{B}) = 1 - p(B) = 1 - 0,5 = 0,5
  $$

* **c) Calcul de $ p(A/B) $ :**
  Par indépendance :
  $$
  p(A/B) = p(A) = 0,4
  $$

---

## Step 3: Cardinal de l'univers (Question 3.1)

L'urne contient 10 boules au total (7 blanches et 3 noires). On tire successivement et sans remise deux boules.
Le cardinal de l'univers $ \Omega $ correspond au nombre d'arrangements de 2 boules parmi 10 :
$$
\text{Card}(\Omega) = A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90
$$

---

## Step 4: Calcul des probabilités de tirage (Question 3.2)

Définissons les événements :
* $ B $ : "la première boule tirée est noire"
* $ A $ : "la deuxième boule tirée est blanche"

* **b) Calcul de $ p(B) $ :**
  Au premier tirage, il y a 3 boules noires sur 10 boules au total.
  $$
  p(B) = \frac{3}{10} = 0,3
  $$

* **c) Calcul de $ p(A \cap B) $ :**
  Cela correspond à l'événement "la première est noire ET la deuxième est blanche".
  * Probabilité de tirer une noire au premier tirage : $ \frac{3}{10} $
  * Sachant qu'une noire a été tirée, il reste 9 boules dans l'urne, dont 7 blanches. La probabilité de tirer une blanche au deuxième tirage est $ \frac{7}{9} $.
  $$
  p(A \cap B) = p(B) \times p(A/B) = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \approx 0,233
  $$

* **a) Calcul de $ p(A) $ :**
  Par la formule des probabilités totales, la deuxième boule est blanche soit si la première était blanche ($ \overline{B} $), soit si la première était noire ($ B $) :
  $$
  p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B})
  $$
  Calculons $ p(A \cap \overline{B}) $ (première blanche et deuxième blanche) :
  $$
  p(A \cap \overline{B}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}
  $$
  Ainsi :
  $$
  p(A) = \frac{21}{90} + \frac{42}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10} = 0,7
  $$
  *(Remarque intuitive : sans information sur le premier tirage, la probabilité que la deuxième boule soit blanche est égale à la proportion initiale de boules blanches, soit $ \frac{7}{10} $).*

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# Answer:

**1. Événements contraires :**
* $ \overline{A} $ : **"Il ne triche pas ou il a honte"**
* $ \overline{B} $ : **"Au moins un foyer camerounais a plus de deux voitures"**

**2. Calculs de probabilités :**
* a) $ p(A) = \mathbf{0,4} $
* b) $ p(\overline{B}) = \mathbf{0,5} $
* c) $ p(A/B) = \mathbf{0,4} $

**3. Tirages dans l'urne :**
* 3.1) $ \text{Card}(\Omega) = \mathbf{90} $
* 3.2)
  * a) $ p(A) = \mathbf{0,7} $ (ou $ \frac{7}{10} $)
  * b) $ p(B) = \mathbf{0,3} $ (ou  $ \frac{3}{10} $)
  * c) $ p(A \cap B) = \mathbf{\frac{7}{30}} $ (ou $ \frac{21}{90} \approx 0,233 $)

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QUESTION IMAGE

Question

Explanation:

Step 1: Événements contraires (Question 1)

Step 2: Calculs avec des événements indépendants (Question 2)

Step 3: Cardinal de l'univers (Question 3.1)

Step 4: Calcul des probabilités de tirage (Question 3.2)

Answer: