Question

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where tf function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.

1. ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

Explanation:

Step1: 求\(x\)，\(y\)轴截距

• \(y\)轴截距：令\(x = 0\)，代入\(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)，得\(y = 0\)。
• \(x\)轴截距：令\(y = 0\)，即\(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}=0\)，提取公因式\(x^{2}\)得\(x^{2}(1-\frac{x}{3}) = 0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 3\)。

Step2: 求一阶导数，确定单调区间和极值

• 对\(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)求导，\(y^\prime=-x^{2}+2x\)，令\(y^\prime = 0\)，即\(-x^{2}+2x=0\)，提取公因式\(-x\)得\(-x(x - 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)。
• 当\(x\lt0\)时，\(y^\prime=-x(x - 2)\lt0\)，函数\(y\)单调递减；
• 当\(0\lt x\lt2\)时，\(y^\prime=-x(x - 2)\gt0\)，函数\(y\)单调递增；
• 当\(x\gt2\)时，\(y^\prime=-x(x - 2)\lt0\)，函数\(y\)单调递减。
• 所以\(x = 0\)为极小值点，\(y(0)=0\)；\(x = 2\)为极大值点，\(y(2)=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}\)。

Step3: 求二阶导数，确定凹凸区间和拐点

• 对\(y^\prime=-x^{2}+2x\)求导，\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\)，令\(y^{\prime\prime}=0\)，即\(-2x + 2 = 0\)，解得\(x = 1\)。
• 当\(x\lt1\)时，\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\gt0\)，函数\(y\)的图像是凹的；
• 当\(x\gt1\)时，\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\lt0\)，函数\(y\)的图像是凸的。
• \(x = 1\)时，\(y(1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，所以拐点坐标为\((1,\frac{2}{3})\)。

Answer:

• \(x\)轴截距：\(x = 0\)，\(x = 3\)；\(y\)轴截距：\(y = 0\)。
• 单调递增区间：\((0,2)\)；单调递减区间：\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)。
• 极小值：\((0,0)\)；极大值：\((2,\frac{4}{3})\)。
• 凹区间：\((-\infty,1)\)；凸区间：\((1,+\infty)\)；拐点：\((1,\frac{2}{3})\)。

根据以上信息可绘制函数\(y =-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)的图像。