Question

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where th function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.

1. ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

Explanation:

Step1: 求\(x\)，\(y\)截距

• \(y\)截距：令\(x = 0\)，则\(y=-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}=0\)。
• \(x\)截距：令\(y = 0\)，即\(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}=0\)，提取公因式\(x^{2}\)得\(x^{2}(1-\frac{x}{3}) = 0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 3\)。

Step2: 求一阶导数\(y'\)并找临界点

对\(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)，\(y^\prime=-x^{2}+2x\)。
令\(y^\prime=0\)，即\(-x^{2}+2x = 0\)，提取公因式\(-x\)得\(-x(x - 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)，这就是\(x\)坐标的临界点。

Step3: 求函数的单调区间

• 当\(x\lt0\)时，取\(x=-1\)，\(y^\prime=-(-1)^{2}+2\times(-1)=-3\lt0\)，函数\(y\)在\((-\infty,0)\)上单调递减。
• 当\(0\lt x\lt2\)时，取\(x = 1\)，\(y^\prime=-1^{2}+2\times1 = 1\gt0\)，函数\(y\)在\((0,2)\)上单调递增。
• 当\(x\gt2\)时，取\(x = 3\)，\(y^\prime=-3^{2}+2\times3=-3\lt0\)，函数\(y\)在\((2,+\infty)\)上单调递减。

Step4: 求二阶导数\(y''\)并找拐点

对\(y^\prime=-x^{2}+2x\)求导，\(y''=-2x + 2\)。
令\(y''=0\)，即\(-2x + 2 = 0\)，解得\(x = 1\)，这就是\(x\)坐标的拐点。

Step5: 求函数的凹凸区间

• 当\(x\lt1\)时，取\(x = 0\)，\(y''=-2\times0+2 = 2\gt0\)，函数\(y\)在\((-\infty,1)\)上凹（concave up）。
• 当\(x\gt1\)时，取\(x = 2\)，\(y''=-2\times2+2=-2\lt0\)，函数\(y\)在\((1,+\infty)\)上凸（concave down）。

Step6: 求相对极值

• 当\(x = 0\)时，\(y=-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}=0\)，因为\(y\)在\(x = 0\)左侧递减，右侧递增，所以\(x = 0\)是相对极小值点，\(y(0)=0\)。
• 当\(x = 2\)时，\(y=-\frac{2^{3}}{3}+2^{2}=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}\)，因为\(y\)在\(x = 2\)左侧递增，右侧递减，所以\(x = 2\)是相对极大值点，\(y(2)=\frac{4}{3}\)。

Answer:

• \(x\)截距：\(x = 0\)，\(x = 3\)；\(y\)截距：\(y = 0\)。
• \(x\)坐标的临界点：\(x = 0\)，\(x = 2\)。
• 单调递增区间：\((0,2)\)；单调递减区间：\((-\infty,0)\)，\((2,+\infty)\)。
• \(x\)坐标的拐点：\(x = 1\)。
• 凹区间：\((-\infty,1)\)；凸区间：\((1,+\infty)\)。
• 相对极小值：\((0,0)\)；相对极大值：\((2,\frac{4}{3})\)。

根据以上信息可绘制函数\(y =-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)的图像。