Question

1. in the diagram below, \\( \overline { g j } \\) is the perpendicular bisector of \\( \overline { f h } \\). point \\( j \\) is located on \\( \overline { e f } \\). based on this information, which triangle below must be isosceles? (1) \\( \triangle e f h \\) (2) \\( \triangle f i j \\) (3) \\( \triangle f g h \\) (4) \\( \triangle f i g \\)

Explanation:

Step1: Propiedad del bisector perpendicular

Si \( \overline{GJ} \) es el bisector perpendicular de \( \overline{FH} \), entonces \( FI = HI \) y \( \overline{GJ} \perp \overline{FH} \) (por definición de bisector perpendicular).

Step2: Triángulo isósceles

En un triángulo, si dos lados son iguales, es isósceles. En \( \triangle FGH \), \( FI = HI \) (por el bisector perpendicular) y \( \overline{GJ} \perp \overline{FH} \). Usando el teorema de congruencia \( SAS \) (ya que \( FI = HI \), \( \angle FIG=\angle HIG = 90^{\circ} \) y \( IG = IG \) (lado común)), \( \triangle FIG\cong\triangle HIG \). Entonces \( FG = HG \).

Answer:

(3) \( \triangle FGH \)