Question

1. in the diagram shown, if \\( \overrightarrow{ab} \\) is reflected across \\( \overrightarrow{ac} \\), then then point \\( b \\) will map onto point \\( d \\) as long as which of the following is true?

(1) \\( \angle 1 \cong \angle 2 \\)
(2) \\( \overline{ab} \cong \overline{ad} \\)
(3) \\( \angle 1 \cong \angle 2 \\) and \\( \overline{ab} \cong \overline{ac} \\)
(4) \\( \angle 1 \cong \angle 2 \\) and \\( \overline{ab} \cong \overline{ad} \\)

1. in the diagram shown, \\( \triangle ghk \\) is drawn with \\( \overline{kg} \cong \overline{kh} \\). the angle bisector of \\( \angle gkh \\) is drawn as \\( \overline{kj} \\). which of the following may not be true based on this information?

(1) \\( \overline{gj} \cong \overline{hj} \\)
(2) \\( \overline{kj} \cong \overline{gh} \\)
(3) \\( \angle g \cong \angle h \\)
(4) \\( \overline{kj} \perp \overline{gh} \\)

Explanation:

11.

Step1: Propiedad de reflexión

La reflexión es una transformación isométrica. Si \(\overrightarrow{AB}\) se refleja a través de \(\overrightarrow{AC}\) y \(B\) se mapea a \(D\), entonces \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) (por la definición de reflexión).
Para que \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) por el criterio \(SAS\) (lado - ángulo - lado), necesitamos que \(\angle1\cong\angle2\) (el ángulo entre los lados) y \(\overline{AB}\cong\overline{AD}\) (los lados).

Step1: Triángulo isósceles

Dado que \(\overline{KG}\cong\overline{KH}\), \(\triangle GHK\) es isósceles. Entonces, \(\angle G\cong\angle H\) (ángulos opuestos a lados iguales en un triángulo isósceles).

Step2: Bisectriz de ángulo

Como \(\overrightarrow{KJ}\) es la bisectriz de \(\angle GKH\), en un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo en el vértice también es la mediana y la altura. Entonces, \(\overline{GJ}\cong\overline{HJ}\) (mediana) y \(\overrightarrow{KJ}\perp\overrightarrow{GH}\) (altura).
Pero no hay razón para suponer que \(\overline{KJ}\cong\overline{GH}\).

Answer:

\((4)\) \(\angle1\cong\angle2\) y \(\overline{AB}\cong\overline{AD}\)

12.