Question

in which quadrant is \\( \theta \\) located if \\( \csc \theta \\) is negative and \\( \tan \theta \\) is positive?
\\( \bigcirc \\) ii
\\( \bigcirc \\) iv
\\( \bigcirc \\) i
\\( \bigcirc \\) iii

Explanation:

Step1: Analizar el signo de \(\csc\theta\)

Recordar que \(\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\). Si \(\csc\theta < 0\), entonces \(\sin\theta<0\). \(\sin\theta<0\) en los cuadrantes III y IV.

Step2: Analizar el signo de \(\tan\theta\)

Recordar que \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Si \(\tan\theta>0\), entonces \(\sin\theta\) y \(\cos\theta\) tienen el mismo signo. Dado que \(\sin\theta < 0\) (del paso 1), entonces \(\cos\theta<0\). \(\cos\theta<0\) en los cuadrantes II y III.

Step3: Encontrar el cuadrante común

El cuadrante donde \(\sin\theta<0\) y \(\cos\theta < 0\) es el cuadrante III.

Answer:

III