Question

1. which of the following is true for the relation $f(x) = 5x + 1$?

• neither the equation nor its inverse is a function.
• only the inverse is a function.
• both the equation and its inverse are functions.
• only the equation is a function.

Explanation:

Step1: Analizar la función original

La función \( f(x) = 5x + 1 \) es una función lineal. Para una función lineal de la forma \( f(x)=mx + b \) (donde \( m
eq0 \)), pasa la prueba de la recta vertical (vertical line test), lo que significa que es una función. Esto se debe a que para cualquier valor de \( x \), hay exactamente un valor de \( f(x) \).

Step2: Encontrar la inversa de la función

Para encontrar la inversa de \( f(x)=5x + 1 \):

1. Sustituir \( y \) por \( f(x) \): \( y = 5x + 1 \).
2. Intercambiar \( x \) e \( y \): \( x = 5y + 1 \).
3. Resolver para \( y \):

• Restar 1 de ambos lados: \( x - 1 = 5y \).
• Dividir ambos lados por 5: \( y=\frac{x - 1}{5}=\frac{1}{5}x-\frac{1}{5} \).

La inversa \( f^{-1}(x)=\frac{1}{5}x-\frac{1}{5} \) también es una función lineal con \( m = \frac{1}{5}
eq0 \), por lo que también pasa la prueba de la recta vertical.

Por lo tanto, tanto la ecuación original como su inversa son funciones.

Answer:

Both the equation and its inverse are functions.