Question

which of the following statements is false?
a ( g(x)=ln x ) is the inverse of ( f(x)=e^{x} ).
b ( f(x)=e^{x} ) is continuous and increasing.
c the graph of ( f(x)=e^{x} ) lies between the graphs of ( d(x)=2^{x} ) and ( h(x)=3^{x} ), and they do not intersect.
d the range of ( f(x)=e^{x} ) is ( (0, infty) ).

Explanation:

Step 1: Analizar la relación inversa

Si \(y = e^{x}\), entonces despejando \(x\) se obtiene \(x=\ln y\). Intercambiando \(x\) e \(y\), la función inversa de \(y = e^{x}\) es \(y=\ln x\). Entonces la opción A es verdadera.

Step 2: Analizar la continuidad y el crecimiento

La función \(y = e^{x}\) es una función exponencial. La derivada de \(y = e^{x}\) es \(y'=e^{x}>0\) para todo \(x\in R\). Además, \(y = e^{x}\) es continua en \(R\) (ya que es una función elemental). Entonces la opción B es verdadera.

Step 3: Analizar el rango

Como \(e^{x}>0\) para todo \(x\in R\) y \(\lim_{x
ightarrow-\infty}e^{x}=0\), \(\lim_{x
ightarrow+\infty}e^{x}=+\infty\), el rango de \(y = e^{x}\) es \((0,+\infty)\). Entonces la opción D es verdadera.

Step 4: Analizar la posición de las gráficas

Tomemos \(x = 0\): \(e^{0}=1\), \(2^{0}=1\), \(3^{0}=1\). Entonces las gráficas de \(y = e^{x}\), \(y = 2^{x}\) y \(y = 3^{x}\) se intersectan en \(x = 0\). Entonces la opción C es falsa.

Answer:

C. The graph of \(f(x)=e^{x}\) lies between the graphs of \(d(x)=2^{x}\) and \(h(x)=3^{x}\), and they do not intersect.