Question

which of the following is the domain and range of the inverse of $y = 2\sqrt{x - 6} + 4$?
a. the domain is $x \geq 6$; the range is $y \geq 4$.
b. the domain is $x \geq 4$; the range is $y \geq 8$.
c. the domain is $x \geq 4$; the range is $y \geq 6$.
d. the domain is $x \geq 12$; the range is $y \geq 4$.

Explanation:

Step1: Analizar la función original \( y = 2\sqrt{x - 6} + 4 \)

Para la función original, el radicando \( x - 6 \) debe ser no negativo, así que \( x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6 \). La raíz cuadrada \( \sqrt{x - 6} \geq 0 \), entonces \( 2\sqrt{x - 6} \geq 0 \) y \( y = 2\sqrt{x - 6} + 4 \geq 4 \). Así, el dominio de la función original es \( x \geq 6 \) y el rango es \( y \geq 4 \).

Step2: Determinar dominio y rango de la función inversa

Para una función y su inversa, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y el rango de la función inversa es el dominio de la función original.

• Dominio de la inversa: Rango de la original \( y \geq 4 \), así que el dominio de la inversa es \( x \geq 4 \).
• Rango de la inversa: Dominio de la original \( x \geq 6 \), así que el rango de la inversa es \( y \geq 6 \).

Comprobando las opciones, la opción C coincide con estos resultados.

Answer:

C. The domain is \( x \geq 4 \); the range is \( y \geq 6 \).