Question

$\sqrt{2x + 6} + 4 = x + 3$
what is the solution set of the equation above?
a) $\\{-1\\}$
b) $\\{5\\}$
c) $\\{-1, 5\\}$
d) $\\{0, -1, 5\\}$

Explanation:

Step1: 移项化简方程

将方程\(\sqrt{2x + 6}+4=x + 3\)中的\(4\)移到等号右边，得到\(\sqrt{2x + 6}=x + 3-4=x - 1\)。

Step2: 两边同时平方消去根号

对\(\sqrt{2x + 6}=x - 1\)两边同时平方，根据\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)），可得\(2x + 6=(x - 1)^2\)。

Step3: 展开并整理方程

根据完全平方公式\((a - b)^2=a^2-2ab + b^2\)，将\((x - 1)^2\)展开为\(x^2-2x + 1\)，则方程变为\(2x + 6=x^2-2x + 1\)。移项化为一元二次方程的标准形式\(x^2-4x - 5 = 0\)。

Step4: 求解一元二次方程

对\(x^2-4x - 5 = 0\)进行因式分解，根据\(x^2+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)\)，这里\(a=-5\)，\(b = 1\)，则\(x^2-4x - 5=(x - 5)(x + 1)=0\)，解得\(x = 5\)或\(x=-1\)。

Step5: 检验解的有效性

• 当\(x = 5\)时，左边\(\sqrt{2\times5 + 6}+4=\sqrt{16}+4 = 4 + 4=8\)，右边\(5 + 3 = 8\)，左边等于右边，所以\(x = 5\)是方程的解。
• 当\(x=-1\)时，左边\(\sqrt{2\times(-1)+6}+4=\sqrt{4}+4 = 2 + 4=6\)，右边\(-1 + 3 = 2\)，左边不等于右边，所以\(x=-1\)不是方程的解。

Answer:

B) \(\{5\}\)