Question

what is the length of gh and ch?
a) gh = 12, ch = 12
b) gh = 16, ch = 12
c) gh = 8, ch = 8
d) gh = 12, ch = 8

Explanation:

Step1: Identificar triángulos congruentes

Los triángulos \( \triangle GBC \) y \( \triangle HBC \) son congruentes por el criterio \( AAS \) (ángulo - ángulo - lado). \( \angle GBC=\angle HBC = 90^{\circ}\), \( \angle GCB=\angle HCB \) (ángulos opuestos por el vértice) y \( BC = BC \) (lado común).

Step2: Aplicar propiedades de triángulos congruentes

Si \( \triangle GBC\cong\triangle HBC \), entonces \( GC = HC \) y \( GB=HB \). Dado que \( GC = 12 \), entonces \( CH=12 \). Usando el teorema de Pitágoras en \( \triangle GBC \): \( GB = 8 \), \( BC\) es común. En \( \triangle GHC \), \( GH=\sqrt{(GB + HB)^{2}+GC^{2}}=\sqrt{(8 + 8)^{2}+12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400}=16 \) (pero mejor, como \( \triangle GBC\cong\triangle HBC \), \( GH = 2\times\sqrt{8^{2}+12^{2}/4}\) no, mejor, como \( \triangle GBC\cong\triangle HBC \), \( GH=\sqrt{(2\times8)^{2}}=16 \) (porque \( GB = HB = 8 \), \( BC\) perpendicular a \( AH \), \( GC = HC = 12 \))

Answer:

B. \( GH = 16, CH = 12 \)