Question

1. what is the domain and range for the following function and its inverse?

$f(x) = x^2 + 3$

• $f(x)$

domain: all real numbers, range: $y \geq 3$
$f^{-1}(x)$
domain: all real numbers, range: $y \geq 3$

• $f(x)$

domain: all real numbers, range: $y \geq 3$
$f^{-1}(x)$
domain: $x \geq 3$, range: all real numbers

• $f(x)$

domain: $x \leq 3$, range: all real numbers
$f^{-1}(x)$
domain: all real numbers, range: $y \leq 3$

Explanation:

Step1: Analizar \( f(x) = x^2 + 3 \)

Para la función \( f(x)=x^2 + 3 \), la variable \( x \) puede ser cualquier número real (ya que se puede elevar al cuadrado cualquier número real), así que el dominio de \( f(x) \) es todos los números reales. Para el rango, \( x^2 \geq 0 \) para cualquier \( x \) real, entonces \( x^2 + 3 \geq 3 \), por lo que el rango de \( f(x) \) es \( y \geq 3 \).

Step2: Analizar la función inversa \( f^{-1}(x) \)

La regla para dominios y rangos de funciones inversas es que el dominio de la función inversa es el rango de la función original y el rango de la función inversa es el dominio de la función original. Entonces, el dominio de \( f^{-1}(x) \) debe ser el rango de \( f(x) \), es decir, \( x \geq 3 \), y el rango de \( f^{-1}(x) \) debe ser el dominio de \( f(x) \), es decir, todos los números reales.

Revisando las opciones:

• La primera opción tiene dominio y rango de \( f^{-1}(x) \) como "todos los números reales" y \( y \geq 3 \), lo cual es incorrecto porque el dominio de \( f^{-1}(x) \) debe ser \( x \geq 3 \) (rango de \( f(x) \)).
• La segunda opción tiene: \( f(x) \) dominio: todos los números reales, rango: \( y \geq 3 \); \( f^{-1}(x) \) dominio: \( x \geq 3 \), rango: todos los números reales. Esto coincide con las reglas de dominios y rangos de funciones inversas.
• La tercera opción tiene dominio de \( f(x) \) como \( x \leq 3 \) y rango como todos los números reales, lo cual es incorrecto porque \( f(x)=x^2 + 3 \) no tiene rango de todos los números reales (ya que \( x^2 + 3 \) siempre es al menos 3).

Answer:

The second option (the middle one) where:

• \( f(x) \) domain: all real numbers, range: \( y \geq 3 \)
• \( f^{-1}(x) \) domain: \( x \geq 3 \), range: all real numbers