Question

try it! use theorem 5-10

1. identify the sides of △nop.

a. which side is the longest?
b. which side is the shortest?
(image of triangle nop with angle n = 65°, angle p = 58°)

Explanation:

Parte a:

Explicación:

Paso 1: Encontrar el tercer ángulo

La suma de los ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \). Dados \( \angle N = 65^\circ \) y \( \angle P = 58^\circ \), entonces \( \angle O = 180^\circ - 65^\circ - 58^\circ = 57^\circ \)? Espera, no, calcula de nuevo: \( 65 + 58 = 123 \), entonces \( 180 - 123 = 57 \)? No, 65 + 58 es 123, 180 - 123 es 57? Wait, no, 65 + 58 = 123, 180 - 123 = 57? Wait, no, 65 + 58: 60 + 50 = 110, 5 + 8 = 13, total 123. Entonces \( \angle O = 180 - 123 = 57^\circ \)? Wait, no, quizás me equivoqué. Wait, el triángulo NOP: vértices N, O, P. Ángulo en N es 65°, ángulo en P es 58°, entonces ángulo en O es \( 180 - 65 - 58 = 57^\circ \)? Entonces los ángulos son: \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 57^\circ \)? Wait, no, 65 + 58 = 123, 180 - 123 = 57. Entonces los ángulos ordenados de mayor a menor: \( \angle N (65^\circ) > \angle P (58^\circ) > \angle O (57^\circ) \).

Paso 2: Aplicar el Teorema 5-10 (Lado mayor opuesto al ángulo mayor)

En un triángulo, el lado más largo es opuesto al ángulo más grande. El ángulo más grande es \( \angle N = 65^\circ \)? No, espera, \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 57^\circ \). Entonces el ángulo más grande es \( \angle N = 65^\circ \)? No, 65 es mayor que 58 y 57. Entonces el lado opuesto a \( \angle N \) es \( OP \). Wait, no: en \( \triangle NOP \), el lado opuesto a \( \angle N \) es \( OP \), opuesto a \( \angle O \) es \( NP \), opuesto a \( \angle P \) es \( NO \). Espera, etiqueta de los vértices: N, O, P. Entonces:

• Lado opuesto a \( \angle N \): \( OP \)
• Lado opuesto a \( \angle O \): \( NP \)
• Lado opuesto a \( \angle P \): \( NO \)

Ángulos: \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 180 - 65 - 58 = 57^\circ \). Entonces los ángulos en orden decreciente: \( \angle N (65^\circ) > \angle P (58^\circ) > \angle O (57^\circ) \). Entonces los lados opuestos en orden decreciente: \( OP \) (opuesto a \( \angle N \)) > \( NO \) (opuesto a \( \angle P \)) > \( NP \) (opuesto a \( \angle O \))? Wait, no: opuesto a \( \angle P (58^\circ) \) es \( NO \), opuesto a \( \angle O (57^\circ) \) es \( NP \), opuesto a \( \angle N (65^\circ) \) es \( OP \). Entonces el lado más largo es \( OP \), porque es opuesto al ángulo más grande (\( \angle N = 65^\circ \))? Wait, no, 65 es el ángulo en N, opuesto a OP. Entonces si \( \angle N \) es el ángulo más grande, entonces \( OP \) es el lado más largo.

Parte b:

Explicación:

Paso 1: Usar el Teorema 5-10 (Lado menor opuesto al ángulo menor)

El ángulo más pequeño es \( \angle O = 57^\circ \) (ya que \( 57 < 58 < 65 \)). El lado opuesto a \( \angle O \) es \( NP \). Entonces el lado más corto es \( NP \), porque es opuesto al ángulo más pequeño (\( \angle O \)).

Respuesta a:

El lado más largo es \( OP \).

Respuesta b:

El lado más corto es \( NP \).

Respuesta:

a. El lado más largo es \( OP \).
b. El lado más corto es \( NP \).

Answer:

Parte a:

Explicación:

Paso 1: Encontrar el tercer ángulo

La suma de los ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \). Dados \( \angle N = 65^\circ \) y \( \angle P = 58^\circ \), entonces \( \angle O = 180^\circ - 65^\circ - 58^\circ = 57^\circ \)? Espera, no, calcula de nuevo: \( 65 + 58 = 123 \), entonces \( 180 - 123 = 57 \)? No, 65 + 58 es 123, 180 - 123 es 57? Wait, no, 65 + 58 = 123, 180 - 123 = 57? Wait, no, 65 + 58: 60 + 50 = 110, 5 + 8 = 13, total 123. Entonces \( \angle O = 180 - 123 = 57^\circ \)? Wait, no, quizás me equivoqué. Wait, el triángulo NOP: vértices N, O, P. Ángulo en N es 65°, ángulo en P es 58°, entonces ángulo en O es \( 180 - 65 - 58 = 57^\circ \)? Entonces los ángulos son: \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 57^\circ \)? Wait, no, 65 + 58 = 123, 180 - 123 = 57. Entonces los ángulos ordenados de mayor a menor: \( \angle N (65^\circ) > \angle P (58^\circ) > \angle O (57^\circ) \).

Paso 2: Aplicar el Teorema 5-10 (Lado mayor opuesto al ángulo mayor)

En un triángulo, el lado más largo es opuesto al ángulo más grande. El ángulo más grande es \( \angle N = 65^\circ \)? No, espera, \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 57^\circ \). Entonces el ángulo más grande es \( \angle N = 65^\circ \)? No, 65 es mayor que 58 y 57. Entonces el lado opuesto a \( \angle N \) es \( OP \). Wait, no: en \( \triangle NOP \), el lado opuesto a \( \angle N \) es \( OP \), opuesto a \( \angle O \) es \( NP \), opuesto a \( \angle P \) es \( NO \). Espera, etiqueta de los vértices: N, O, P. Entonces:

• Lado opuesto a \( \angle N \): \( OP \)
• Lado opuesto a \( \angle O \): \( NP \)
• Lado opuesto a \( \angle P \): \( NO \)

Ángulos: \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle P = 58^\circ \), \( \angle O = 180 - 65 - 58 = 57^\circ \). Entonces los ángulos en orden decreciente: \( \angle N (65^\circ) > \angle P (58^\circ) > \angle O (57^\circ) \). Entonces los lados opuestos en orden decreciente: \( OP \) (opuesto a \( \angle N \)) > \( NO \) (opuesto a \( \angle P \)) > \( NP \) (opuesto a \( \angle O \))? Wait, no: opuesto a \( \angle P (58^\circ) \) es \( NO \), opuesto a \( \angle O (57^\circ) \) es \( NP \), opuesto a \( \angle N (65^\circ) \) es \( OP \). Entonces el lado más largo es \( OP \), porque es opuesto al ángulo más grande (\( \angle N = 65^\circ \))? Wait, no, 65 es el ángulo en N, opuesto a OP. Entonces si \( \angle N \) es el ángulo más grande, entonces \( OP \) es el lado más largo.

Parte b:

Explicación:

Paso 1: Usar el Teorema 5-10 (Lado menor opuesto al ángulo menor)

El ángulo más pequeño es \( \angle O = 57^\circ \) (ya que \( 57 < 58 < 65 \)). El lado opuesto a \( \angle O \) es \( NP \). Entonces el lado más corto es \( NP \), porque es opuesto al ángulo más pequeño (\( \angle O \)).

Respuesta a:

El lado más largo es \( OP \).

Respuesta b:

El lado más corto es \( NP \).

Respuesta:

a. El lado más largo es \( OP \).
b. El lado más corto es \( NP \).