Question

#3. détermine laire du carré (la valeur numérique de laire et non pas lexpression algébrique représentant laire!) suchant que le périmètre du pentagone est trois fois plus grand que le périmètre du carré.

pentagon sides: ((2x + 1)) cm, (\frac{20x + 8}{4}) cm, ((15x - 20)) cm, ((80 - 10x)) cm, (3x) cm
square side: ((4x - 3)) cm

Explanation:

Step 1: Calculer le périmètre du pentagone

Le périmètre d'un polygone est la somme de ses côtés. Ainsi, pour le pentagone, on additionne tous ses côtés :
\[

$$\begin{align*} P_{pentagone}&=(2x + 1)+\frac{20x + 8}{4}+(15x - 20)+(80 - 10x)+3x\\ &=2x + 1 + 5x + 2+15x - 20+80 - 10x+3x\\ &=(2x + 5x + 15x - 10x + 3x)+(1 + 2 - 20 + 80)\\ &=(15x)+(63)\\ &=15x + 63 \end{align*}$$

\]

Step 2: Calculer le périmètre du carré

Le périmètre d'un carré est \(4\times\) côté. Ici, le côté du carré est \((4x - 3)\) cm, donc :
\[
P_{carré}=4\times(4x - 3)=16x - 12
\]

Step 3: Appliquer la relation donnée

On sait que le périmètre du pentagone est trois fois plus grand que celui du carré, donc :
\[
P_{pentagone}=3\times P_{carré}
\]
En substituant les expressions des périmètres :
\[
15x + 63 = 3\times(16x - 12)
\]
Développer le côté droit :
\[
15x + 63 = 48x - 36
\]
Transposer les termes en \(x\) et les termes constants :
\[
63 + 36 = 48x - 15x
\]
Calculer les deux côtés :
\[
99 = 33x
\]
Diviser les deux côtés par 33 :
\[
x=\frac{99}{33}=3
\]

Step 4: Calculer le côté du carré

Le côté du carré est \((4x - 3)\). En substituant \(x = 3\) :
\[
4x - 3=4\times3 - 3=12 - 3 = 9
\]

Step 5: Calculer l'aire du carré

L'aire d'un carré est \(côté^2\). Ainsi, l'aire \(A\) est :
\[
A = 9^2=81
\]

Answer:

L'aire du carré est \(\boldsymbol{81}\) \(cm^2\).