Question

solución de ecuaciones exponenciales de varios pasos
resolver: $64^{-3x - 3} \cdot 64 + 22 = 38$
$x = -\frac{9}{8}$
$x = -\frac{8}{9}$
$x = \frac{9}{8}$
$x = \frac{8}{9}$

Explanation:

Step1: Simplificar la ecuación

Primero, usamos la propiedad de exponentes \( a^m \cdot a^n = a^{m + n} \). La ecuación es \( 64^{-3x - 3} \cdot 64 + 22 = 38 \). Entonces, \( 64^{-3x - 3 + 1} + 22 = 38 \), es decir, \( 64^{-3x - 2} + 22 = 38 \).

Step2: Aislar el término exponencial

Restamos 22 de ambos lados: \( 64^{-3x - 2} = 38 - 22 = 16 \).

Step3: Expresar en base 4 (o 2)

Sabemos que \( 64 = 4^3 \) y \( 16 = 4^2 \). Entonces, \( (4^3)^{-3x - 2} = 4^2 \). Usando la propiedad \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), tenemos \( 4^{-9x - 6} = 4^2 \).

Step4: Igualar exponentes

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales: \( -9x - 6 = 2 \).

Step5: Resolver para x

Sumamos 6 a ambos lados: \( -9x = 2 + 6 = 8 \). Luego, dividimos por -9: \( x = -\frac{8}{9} \)? Espera, no, comencemos de nuevo. Wait, en el paso 1, \( 64^{-3x - 3} \cdot 64 = 64^{-3x - 3 + 1} = 64^{-3x - 2} \). Entonces \( 64^{-3x - 2} = 16 \). Ahora, \( 64 = 2^6 \) y \( 16 = 2^4 \). Entonces \( (2^6)^{-3x - 2} = 2^4 \), lo que es \( 2^{-18x - 12} = 2^4 \). Entonces, \( -18x - 12 = 4 \). Sumamos 12: \( -18x = 16 \). Dividimos por -18: \( x = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9} \)? No, wait, el error está en el primer paso. Wait, la ecuación original es \( 64^{-3x - 3} \cdot 64 + 22 = 38 \). Entonces, \( 64^{-3x - 3 + 1} = 64^{-3x - 2} \), luego \( 64^{-3x - 2} = 16 \). Ahora, \( 64 = 4^3 \), \( 16 = 4^2 \), así que \( (4^3)^{-3x - 2} = 4^2 \) → \( 4^{-9x - 6} = 4^2 \) → \( -9x - 6 = 2 \) → \( -9x = 8 \) → \( x = -\frac{8}{9} \). Wait, pero en las opciones, hay \( x = -\frac{8}{9} \) (segunda opción). Wait, pero en mi cálculo, obtuve \( x = -\frac{8}{9} \). Entonces la respuesta es la segunda opción.

Wait, pero volvamos. La ecuación es \( 64^{-3x - 3} \cdot 64 + 22 = 38 \). Simplificar \( 64^{-3x - 3} \cdot 64 = 64^{-3x - 3 + 1} = 64^{-3x - 2} \). Entonces \( 64^{-3x - 2} = 16 \). Ahora, \( 64 = 2^6 \), \( 16 = 2^4 \). Entonces \( (2^6)^{-3x - 2} = 2^4 \) → \( 2^{-18x - 12} = 2^4 \). Entonces, \( -18x - 12 = 4 \) → \( -18x = 16 \) → \( x = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9} \). Sí, así que \( x = -\frac{8}{9} \), que es la segunda opción: \( x = -\frac{8}{9} \).

Answer:

B. \( x = -\frac{8}{9} \) (suponiendo que las opciones están numeradas como A, B, C, D, donde la segunda es B. \( x = -\frac{8}{9} \))