Question

regents cumulative review:

1. a regular pentagon is rotated about its center. what is the minimum number of degrees needed to carry the pentagon onto itself?

(1) ( 72 ^ { circ } ) (2) ( 108 ^ { circ } ) (3) ( 144 ^ { circ } ) (4) ( 360 ^ { circ } )

1. in the diagram below, congruent triangles pen and pal are drawn.

which rigid motion maps ( \triangle pen ) onto ( \triangle pal )?
(1) a point reflection of ( \triangle pen ) through point p
(2) a reflection of ( \triangle pen ) over the angle bisector of ( angle epa )
(3) a rotation about point p, mapping ( overline { pe } ) onto ( overline { pa } )
(4) a translation of ( \triangle pen ) along ( overline { ea } ), mapping point e onto a

Explanation:

1. Para el problema 15:

• Explicación:
• La fórmula para el ángulo de rotación mínimo \( \theta \) de un polígono regular con \( n \) lados es \( \theta=\frac{360^{\circ}}{n} \).
• Para un pentágono regular, \( n = 5 \).
• Entonces, \( \theta=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ} \).
• Respuesta: \( 72^{\circ} \) (Opción 1).

1. Para el problema 16:

• Explicación:
• Una reflexión sobre un eje es una transformación que "vuelve" una figura sobre un eje. Si \( \overline{PE} \) es el bisector del ángulo \( \angle EPA \), entonces la reflexión de \( \triangle PEN \) sobre \( \overline{PE} \) mapeará \( \overline{PE} \) sobre sí mismo y mapeará \( \triangle PEN \) sobre \( \triangle PAL \) (ya que los triángulos son congruentes y la reflexión preserva la distancia y la medida de ángulos).
• Respuesta: (2) una reflexión de \( \triangle PEN \) sobre el ángulo bisector de \( \angle EPA \) mapeando \( \overline{PE} \) sobre \( \overline{PA} \).

Answer:

1. Para el problema 15:

• Explicación:
• La fórmula para el ángulo de rotación mínimo \( \theta \) de un polígono regular con \( n \) lados es \( \theta=\frac{360^{\circ}}{n} \).
• Para un pentágono regular, \( n = 5 \).
• Entonces, \( \theta=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ} \).
• Respuesta: \( 72^{\circ} \) (Opción 1).

1. Para el problema 16:

• Explicación:
• Una reflexión sobre un eje es una transformación que "vuelve" una figura sobre un eje. Si \( \overline{PE} \) es el bisector del ángulo \( \angle EPA \), entonces la reflexión de \( \triangle PEN \) sobre \( \overline{PE} \) mapeará \( \overline{PE} \) sobre sí mismo y mapeará \( \triangle PEN \) sobre \( \triangle PAL \) (ya que los triángulos son congruentes y la reflexión preserva la distancia y la medida de ángulos).
• Respuesta: (2) una reflexión de \( \triangle PEN \) sobre el ángulo bisector de \( \angle EPA \) mapeando \( \overline{PE} \) sobre \( \overline{PA} \).