Question

a rectangle is placed around a semicircle as shown below. the width of the rectangle is 6 yd. find the area of the shaded region. use the value 3.14 for π, and do not round your answer. be sure to include the correct unit in your answer. try again the value in your answer is incorrect.

Explanation:

Step1: Calcular área del rectángulo

El ancho del rectángulo es 6 yd. El largo del rectángulo es igual al diámetro del semicírculo, que es \( 2 \times 6 = 12 \) yd? No, espero, el radio del semicírculo es igual al ancho del rectángulo? Wait, el semicírculo está dentro del rectángulo. El ancho del rectángulo es 6 yd, entonces el radio del semicírculo es 6 yd? No, el alto del rectángulo es igual al radio? Wait, la figura: el rectángulo tiene ancho 6 yd, y el semicírculo tiene diámetro igual al largo del rectángulo? Wait, no, la altura del rectángulo es igual al radio? Wait, el semicírculo está en el rectángulo, con la curva hacia la izquierda. Entonces el ancho del rectángulo (horizontal) es 6 yd, y la altura del rectángulo (vertical) es igual al radio del semicírculo? Wait, no, el diámetro del semicírculo es igual a la altura del rectángulo? Wait, quizás el rectángulo tiene dimensiones: ancho 6 yd, y largo igual al diámetro del semicírculo, que es \( 2 \times 6 = 12 \) yd? No, no. Wait, el área del rectángulo es \( \text{largo} \times \text{ancho} \). El semicírculo tiene radio \( r = 6 \) yd? Wait, el ancho del rectángulo es 6 yd, entonces el radio del semicírculo es 6 yd, y el diámetro es \( 2 \times 6 = 12 \) yd. Entonces el rectángulo tiene dimensiones: ancho 6 yd, largo 12 yd? No, la figura muestra que el ancho es 6 yd, y el semicírculo tiene su base en la parte derecha del rectángulo? Wait, la sombra es el área del rectángulo menos el área del semicírculo. Entonces primero, área del rectángulo: \( \text{área}_{\text{rectángulo}} = \text{largo} \times \text{ancho} \). El ancho es 6 yd, y el largo es igual al diámetro del semicírculo, que es \( 2 \times 6 = 12 \) yd? No, wait, el radio del semicírculo es 6 yd, entonces el diámetro es 12 yd. Entonces el rectángulo tiene largo 12 yd y ancho 6 yd? No, no, el ancho del rectángulo es 6 yd, y la altura del rectángulo es igual al radio? Wait, no, la figura: el rectángulo es vertical? Wait, el texto dice "the width of the rectangle is 6 yd". Width es ancho, entonces horizontal. Entonces el rectángulo tiene ancho 6 yd, y alto (largo) igual al diámetro del semicírculo, que es \( 2 \times 6 = 12 \) yd? No, quizás el radio del semicírculo es 6 yd, entonces el diámetro es 12 yd, y el rectángulo tiene dimensiones 6 yd (ancho) por 12 yd (largo). Entonces área del rectángulo: \( 12 \times 6 = 72 \) \( \text{yd}^2 \).

Step2: Calcular área del semicírculo

El área de un círculo es \( \pi r^2 \), entonces el área de un semicírculo es \( \frac{1}{2} \pi r^2 \). El radio \( r = 6 \) yd (porque el ancho del rectángulo es 6 yd, y el radio del semicírculo es igual al ancho? Wait, no, el diámetro del semicírculo es igual al alto del rectángulo? Wait, me equivoqué. Wait, el ancho del rectángulo es 6 yd, y el semicírculo tiene su diámetro igual al alto del rectángulo, que es 12 yd? No, no. Wait, la figura: el rectángulo tiene ancho 6 yd, y el semicírculo está dentro, con la curva hacia la izquierda. Entonces el radio del semicírculo es igual al ancho del rectángulo, es decir, \( r = 6 \) yd, y el diámetro es \( 2 \times 6 = 12 \) yd. Entonces el rectángulo tiene dimensiones: ancho 6 yd, largo 12 yd? No, el largo del rectángulo es igual al diámetro del semicírculo, que es 12 yd, y el ancho es 6 yd. Entonces área del rectángulo: \( 12 \times 6 = 72 \) \( \text{yd}^2 \). Área del semicírculo: \( \frac{1}{2} \times \pi \times r^2 \), con \( r = 6 \) yd. Entonces \( \frac{1}{2} \times 3.14 \times 6^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 36 = 1.57 \times 36 = 56.52 \) \( \text{yd}^2 \).

Step3: Calcular área de la región sombreada

Área sombreada = Área del rectángulo - Área del semicírculo = \( 72 - 56.52 = 15.48 \) \( \text{yd}^2 \). Wait, no, quizás me equivoqué en las dimensiones del rectángulo. Wait, el ancho del rectángulo es 6 yd, y la altura del rectángulo es igual al radio del semicírculo? Wait, no, el semicírculo tiene radio \( r = 6 \) yd, entonces el diámetro es \( 2r = 12 \) yd. Entonces el rectángulo tiene ancho 6 yd y alto 12 yd? No, la figura muestra que el ancho es 6 yd, y el semicírculo está en el rectángulo con su base en la parte superior e inferior. Wait, quizás el rectángulo tiene dimensiones: ancho 6 yd, y alto 6 yd? No, no. Wait, el radio del semicírculo es igual al ancho del rectángulo, es decir, \( r = 6 \) yd, y el diámetro es \( 2r = 12 \) yd. Entonces el rectángulo tiene ancho 6 yd y largo 12 yd? No, el largo del rectángulo es igual al diámetro del semicírculo, que es 12 yd, y el ancho es 6 yd. Entonces área del rectángulo es \( 12 \times 6 = 72 \) \( \text{yd}^2 \). Área del semicírculo es \( \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 6^2 = 56.52 \) \( \text{yd}^2 \). Entonces área sombreada es \( 72 - 56.52 = 15.48 \) \( \text{yd}^2 \). Wait, pero quizás el rectángulo tiene ancho 6 yd y alto 6 yd? No, porque el semicírculo tiene radio 6 yd, entonces el diámetro es 12 yd, lo que no cabría en un rectángulo de 6x6. Entonces mi primer cálculo debe ser correcto.

Answer:

\( 15.48 \) square yards (yd²)