Question

recognizing limitations of the rational root theorem
determine whether the rational root theorem provides a complete list of all roots for the following polynomial functions.
$f(x)=4x^{2}-25$
$g(x)=4x^{2}+25$
$h(x)=3x^{2}-25$

Explanation:

Step1: Aplicar el Teorema de las Raíces Racionales

El Teorema de las Raíces Racionales dice que si un polinomio \(P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x + a_0\) tiene una raíz racional \(p/q\), entonces \(p\) es un divisor de \(a_0\) y \(q\) es un divisor de \(a_n\).

Para \(f(x) = 4x^{2}-25\)

1. \(f(x)=(2x - 5)(2x + 5)\). Las raíces son \(x=\frac{5}{2}\) y \(x =-\frac{5}{2}\).
2. Usando el Teorema de las Raíces Racionales: \(a_n = 4\) (divisores \(q=\pm1,\pm2,\pm4\)), \(a_0=- 25\) (divisores \(p=\pm1,\pm5,\pm25\)). Las posibles raíces racionales son \(\pm\frac{1}{1},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{5}{1},\pm\frac{5}{2},\pm\frac{5}{4},\pm\frac{25}{1},\pm\frac{25}{2},\pm\frac{25}{4}\). Pero solo \(x=\pm\frac{5}{2}\) son raíces. El Teorema no da una lista completa.

Para \(g(x)=4x^{2}+25\)

1. \(g(x)=4x^{2}+25 = 0\Rightarrow x^{2}=-\frac{25}{4}\). Las raíces son \(x=\pm\frac{5}{2}i\) (raíces complejas).
2. El Teorema de las Raíces Racionales solo da raíces reales racionales. No da una lista completa.

Para \(h(x)=3x^{2}-25\)

1. \(h(x)=3x^{2}-25=0\Rightarrow x^{2}=\frac{25}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{5}{\sqrt{3}}=\pm\frac{5\sqrt{3}}{3}\) (raíces irracionales).
2. Usando el Teorema de las Raíces Racionales: \(a_n = 3\) (divisores \(q=\pm1,\pm3\)), \(a_0=-25\) (divisores \(p=\pm1,\pm5,\pm25\)). Las posibles raíces racionales son \(\pm\frac{1}{1},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{5}{1},\pm\frac{5}{3},\pm\frac{25}{1},\pm\frac{25}{3}\). Las raíces de \(h(x)\) no son racionales. El Teorema no da una lista completa.

Answer:

• Para \(f(x) = 4x^{2}-25\): No.
• Para \(g(x)=4x^{2}+25\): No.
• Para \(h(x)=3x^{2}-25\): No.