Question

quadrilateral abcd has vertices at a(-4,2), b(-2,2), c(-1,0), and d(-4,0).
select all the statements that can be used to prove quadrilateral abcd is not a rectangle.
angle c is an acute angle.
angle d is an obtuse angle.
side cd is longer than side ab.
side ad is not parallel to side ab.
side ad is not parallel to side bc.
sides ab and ad are the same length.

Explanation:

Step1: Calcular la longitud de los lados

La fórmula de la distancia entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\).
Para \(AB\) con \(A(-4,2)\) y \(B(-2,2)\):
\(AB=\sqrt{(-2+4)^2+(2 - 2)^2}=\sqrt{4+0}=2\)
Para \(CD\) con \(C(-1,0)\) y \(D(-4,0)\):
\(CD=\sqrt{(-4 + 1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{9+0}=3\)
Para \(AD\) con \(A(-4,2)\) y \(D(-4,0)\):
\(AD=\sqrt{(-4+4)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{0 + 4}=2\)
Para \(BC\) con \(B(-2,2)\) y \(C(-1,0)\):
\(BC=\sqrt{(-1+2)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)

Step2: Analizar la pendiente de los lados

La fórmula de la pendiente entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es \(m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
Pendiente de \(AB\): \(m_{AB}=\frac{2-2}{-2+4}=0\) (lado horizontal)
Pendiente de \(AD\): \(m_{AD}=\frac{0 - 2}{-4+4}\), la pendiente no está definida (lado vertical)
Pendiente de \(BC\): \(m_{BC}=\frac{0 - 2}{-1+2}=-2\)
Pendiente de \(CD\): \(m_{CD}=\frac{0-0}{-4 + 1}=0\) (lado horizontal)

Step3: Analizar los ángulos

Un rectángulo tiene todos los ángulos rectos (\(90^{\circ}\)).
Para calcular el ángulo \(C\), usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por los lados \(BC\), \(CD\) y la hipotenusa \(BD\).
\(BD=\sqrt{(-4 + 2)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
\(BC^{2}+CD^{2}=(\sqrt{5})^{2}+3^{2}=5 + 9=14\) y \(BD^{2}=8\), no es triángulo rectángulo.
Calculamos el ángulo \(C\) usando el coseno: \(\cos C=\frac{BC^{2}+CD^{2}-BD^{2}}{2\cdot BC\cdot CD}=\frac{5 + 9-8}{2\cdot\sqrt{5}\cdot3}=\frac{6}{6\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx0.447\), \(C\approx63.43^{\circ}\) (ángulo agudo)
El ángulo \(D\) es recto (\(90^{\circ}\)) ya que \(AD\) es vertical y \(CD\) es horizontal.

Step4: Analizar la paralelismo

En un rectángulo, lados opuestos son paralelos. \(AD\) no es paralelo a \(BC\) ya que \(m_{AD}\) no está definida y \(m_{BC}=-2\)

Answer:

Angle \(C\) is an acute angle, Side \(AD\) is not parallel to side \(BC\)