Question

2.(7 pts.) for what value a is the function f given by
$f(t) = \

$$\begin{cases} \\dfrac{\\sqrt{4 + t^2} - 2}{t^2} & t \ eq 0 \\\\ a & t = 0 \\end{cases}$$

$
continuous everywhere?
(a) any value of a
(b) $a = \dfrac{1}{4}$
(c) no value of a makes f continuous everywhere.
(d) $a = 1$
(e) $a = \dfrac{1}{2}$

Explanation:

Step1: 确定连续性条件

函数在\(t = 0\)处连续的条件是\(\lim_{t \to 0} f(t)=f(0)=a\)，所以需要计算\(\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{4 + t^2}-2}{t^2}\)。

Step2: 有理化分子

对分子\(\sqrt{4 + t^2}-2\)有理化，乘以\(\frac{\sqrt{4 + t^2}+2}{\sqrt{4 + t^2}+2}\)，得到：

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step3: 约去\(t^2\)并求极限

约去\(t^2\)（\(t
eq0\)时可约），得到\(\lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + t^2}+2}\)，代入\(t = 0\)，得\(\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2 + 2}=\frac{1}{4}\)。所以\(a=\frac{1}{4}\)。

Answer:

(b) \(a = \frac{1}{4}\)