Question

in problems 21–32, graph the function f by starting with the graph of $y = x^2$ and using transformations (shifting, compressing, stretching, and/or reflecting).
hint: if necessary, write f in the form $f(x) = a(x - h)^2 + k$.

1. $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ 22. $f(x) = 2x^2 + 4$ 23. $f(x) = (x + 2)^2 - 2$ 24. $f(x) = (x - 3)^2 - 10$
2. $f(x) = x^2 + 4x + 2$ 26. $f(x) = x^2 - 6x - 1$ 27. $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ 28. $f(x) = 3x^2 + 6x$
3. $f(x) = -x^2 - 2x$ 30. $f(x) = -2x^2 + 6x + 2$ 31. $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 1$ 32. $f(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - 1$

in problems 33–48, (a) graph each quadratic function by determining whether its graph opens up or down and by finding its vertex, axis of symmetry, y-intercept, and x-intercepts, if any. (b) determine the domain and the range of the function. (c) determine where the function is increasing and where it is decreasing.

1. $f(x) = x^2 + 2x$ 34. $f(x) = x^2 - 4x$ 35. $f(x) = -x^2 - 6x$ 36. $f(x) = -x^2 + 4x$
2. $f(x) = x^2 + 2x - 8$ 38. $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 39. $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 40. $f(x) = x^2 + 6x + 9$

Explanation:

Step1: Analizar la función \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \)

La función base es \( y = x^2 \), que es una parábola que abre hacia arriba con vértice en \( (0,0) \). La transformación aquí es una compresión vertical. El factor \( a = \frac{1}{4} \) (donde \( 0 < |a| < 1 \)) indica que la gráfica de \( y = x^2 \) se comprime verticalmente por un factor de \( \frac{1}{4} \).

Step2: Trazar la gráfica

1. Vértice: Al igual que la función base \( y = x^2 \), el vértice de \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \) está en \( (0,0) \) porque no hay desplazamiento horizontal (\( h = 0 \)) ni vertical (\( k = 0 \)) en la forma \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) (aquí \( a = \frac{1}{4} \), \( h = 0 \), \( k = 0 \)).
2. Dirección de apertura: Dado que \( a = \frac{1}{4} > 0 \), la parábola abre hacia arriba.
3. Puntos de referencia: Tomar algunos puntos de la función base \( y = x^2 \) y aplicar la compresión. Por ejemplo, para \( x = 2 \), \( y = x^2 = 4 \), entonces para \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \), \( f(2) = \frac{1}{4}(4) = 1 \). Para \( x = -2 \), \( f(-2) = \frac{1}{4}(4) = 1 \). Para \( x = 4 \), \( f(4) = \frac{1}{4}(16) = 4 \), y para \( x = -4 \), \( f(-4) = \frac{1}{4}(16) = 4 \).
4. Dibujar la parábola: Usar el vértice \( (0,0) \) y los puntos calculados (\( (2,1) \), \( (-2,1) \), \( (4,4) \), \( (-4,4) \)) para trazar una parábola que sea más ancha que la de \( y = x^2 \) (debido a la compresión vertical).

Answer:

La gráfica de \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \) es una parábola que abre hacia arriba con vértice en \( (0,0) \), comprimida verticalmente por un factor de \( \frac{1}{4} \) respecto a la gráfica de \( y = x^2 \).