Question

problems 21–32 graph the function f by starting with the graph of y = x² and using transformations (shifting, compressing, stretching, or reflecting). if necessary, write f in the form f(x) = a(x - h)² + k.

1. f(x) = \frac{1}{4}x²
2. f(x) = 2x² + 4
3. f(x) = (x + 2)² - 2
4. f(x) = (x - 3)² - 10
5. f(x) = x² + 4x + 2
6. f(x) = x² - 6x - 1
7. f(x) = 2x² - 4x + 1
8. f(x) = 3x² + 6x
9. f(x) = -x² - 2x
10. f(x) = -2x² + 6x + 2
11. f(x) = \frac{1}{2}x² + x - 1
12. f(x) = \frac{2}{3}x² + \frac{4}{3}x - 1

problems 33–48 (a) graph each quadratic function by determining whether its graph opens up or down and by finding its vertex, axis of symmetry, y-intercept, and x-intercepts, if any. (b) determine the domain and the range of the function. (c) determine where the function is increasing and where it is decreasing.

1. f(x) = x² + 2x
2. f(x) = x² - 4x
3. f(x) = -x² - 6x
4. f(x) = -x² + 4x
5. f(x) = x² + 2x - 8
6. f(x) = x² - 2x - 3
7. f(x) = x² + 2x + 1
8. f(x) = x² + 6x + 9

Explanation:

Step1: Identificar la función

Tomamos la función \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \) (problema 21). La función base es \( y = x^2 \).

Step2: Analizar la transformación

La función \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \) es una transformación de \( y = x^2 \) con un factor de compresión vertical. El coeficiente \( \frac{1}{4} \) (positivo y menor que 1) indica que la gráfica de \( y = x^2 \) se comprime verticalmente por un factor de \( \frac{1}{4} \).

Step3: Graficar la función

• La parábola \( y = x^2 \) tiene su vértice en \( (0,0) \), abre hacia arriba, y pasa por \( (1,1) \) y \( (-1,1) \).
• Para \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \), el vértice sigue en \( (0,0) \), abre hacia arriba (porque el coeficiente es positivo), y los puntos \( (1, \frac{1}{4}) \) y \( (-1, \frac{1}{4}) \) están en la gráfica (ya que al sustituir \( x = 1 \), \( f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 = \frac{1}{4} \)).

Answer:

La gráfica de \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 \) es una parábola con vértice en \( (0,0) \), abierta hacia arriba, comprimida verticalmente por un factor de \( \frac{1}{4} \) respecto a la gráfica de \( y = x^2 \).