Question

perform the operation and simplify.\\(\frac{x^2 + 3x - 10}{x - 3} \div \frac{x^2 + 12x + 35}{x^2 - 9}\\)\\(\frac{(x - ?)(x + \square)}{x + \square}\\)

Explanation:

Step1: Convert division to multiplication

Recuerda que dividir por una fracción es igual a multiplicar por su recíproco. Entonces, \(\frac{x^{2}+3x - 10}{x - 3}\div\frac{x^{2}+12x + 35}{x^{2}-9}=\frac{x^{2}+3x - 10}{x - 3}\times\frac{x^{2}-9}{x^{2}+12x + 35}\)

Step2: Factorizar cada trinomio y diferencia de cuadrados

• Factorizar \(x^{2}+3x - 10\): Buscamos dos números que sumen 3 y se multipliquen por - 10. Estos números son 5 y - 2. Entonces \(x^{2}+3x - 10=(x + 5)(x - 2)\)
• Factorizar \(x^{2}-9\): Es una diferencia de cuadrados, \(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)\), donde \(a=x\) y \(b = 3\). Entonces \(x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)\)
• Factorizar \(x^{2}+12x + 35\): Buscamos dos números que sumen 12 y se multipliquen por 35. Estos números son 5 y 7. Entonces \(x^{2}+12x + 35=(x + 5)(x + 7)\)

Sustituyendo en la expresión: \(\frac{(x + 5)(x - 2)}{x - 3}\times\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 5)(x + 7)}\)

Step3: Cancelar factores comunes

Cancelamos \((x + 5)\) y \((x - 3)\) en el numerador y el denominador:

\(\frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 7}\) (o en el formato dado \(\frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 7}\))

Answer:

En el formato \(\frac{(x - [?])(x + \square)}{x + \square}\), el valor de "?" es 2, el primer \(\square\) es 3 y el segundo \(\square\) es 7. Entonces la expresión simplificada es \(\frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 7}\)