Question

solve:
\\(\frac{x}{x - 6} + \frac{14}{x} = 9\\)
\\(x = \frac{?}{\square}, \square\\)

Explanation:

Step1: Eliminar denominadores

Multiplicar ambos lados de la ecuación por \( x(x - 6) \) (el mínimo común denominador) para eliminar los denominadores:

$$ x(x - 6) \cdot \frac{x}{x - 6} + x(x - 6) \cdot \frac{14}{x} = 9 \cdot x(x - 6) $$

Simplificar cada término:

$$ x \cdot x + 14(x - 6) = 9x(x - 6) $$

$$ x^2 + 14x - 84 = 9x^2 - 54x $$

Step2: Formar ecuación cuadrática

Mover todos los términos a un lado:

$$ x^2 + 14x - 84 - 9x^2 + 54x = 0 $$

Combinar términos semejantes:

$$ -8x^2 + 68x - 84 = 0 $$

Multiplicar ambos lados por -1 para simplificar:

$$ 8x^2 - 68x + 84 = 0 $$

Dividir por 4:

$$ 2x^2 - 17x + 21 = 0 $$

Step3: Resolver ecuación cuadrática

Usar la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) para \( 2x^2 - 17x + 21 = 0 \), donde \( a = 2 \), \( b = -17 \), \( c = 21 \):

$$ x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2} $$

Calcular el discriminante:

$$ \sqrt{289 - 168} = \sqrt{121} = 11 $$

Entonces:

$$ x = \frac{17 \pm 11}{4} $$

Calcular las dos soluciones:

• Para \( + \): \( x = \frac{17 + 11}{4} = \frac{28}{4} = 7 \)
• Para \( - \): \( x = \frac{17 - 11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Step4: Verificar soluciones

Verificar \( x = 7 \):

$$ \frac{7}{7 - 6} + \frac{14}{7} = 7 + 2 = 9 \quad (\text{válido}) $$

Verificar \( x = \frac{3}{2} \):

$$ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2} - 6} + \frac{14}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{9}{2}} + \frac{28}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{28}{3} = 9 \quad (\text{válido}) $$

Answer:

\( x = \frac{3}{2} \), \( x = 7 \)