Question

multiply: \\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3}\\)
a. \\(x + 2\\)
b. \\(\frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 2}\\)
c. \\(\frac{(x - 3)^2}{(x + 2)^3}\\)
d. \\(1\\)

Explanation:

Step1: Factorizar cada trinomio y binomio

• Factorizar \(x^2 - 5x + 6\): Buscamos dos números que sumen \(-5\) y se multipliquen por \(6\). Estos son \(-2\) y \(-3\), así que \(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\).
• Factorizar \(x^2 - 4\): Es una diferencia de cuadrados, \(a^2 - b^2=(a - b)(a + b)\), así que \(x^2 - 4=(x - 2)(x + 2)\).
• Factorizar \(x^2 + 3x + 2\): Buscamos dos números que sumen \(3\) y se multipliquen por \(2\). Estos son \(1\) y \(2\), así que \(x^2 + 3x + 2=(x + 1)(x + 2)\).
• Factorizar \(x^2 - 2x - 3\): Buscamos dos números que sumen \(-2\) y se multipliquen por \(-3\). Estos son \(-3\) y \(1\), así que \(x^2 - 2x - 3=(x - 3)(x + 1)\).

Sustituyendo en la expresión original:

$$ \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} $$

Step2: Cancelar factores comunes

• Cancelar \((x - 2)\) en el numerador y denominador del primer fraccionario.
• Cancelar \((x + 1)\) en el numerador y denominador del segundo fraccionario.
• Cancelar \((x - 3)\) en el numerador y denominador.
• Cancelar \((x + 2)\) en el numerador y denominador.

Después de cancelar, quedamos con \(1\)? Espera, no, vamos a revisar de nuevo:

Esperemos, la expresión después de factorizar es:

$$ \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}\times\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} $$

Cancelando \((x - 2)\): \(\frac{\cancel{(x - 2)}(x - 3)}{\cancel{(x - 2)}(x + 2)}\times\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)}\)

Cancelando \((x + 1)\): \(\frac{(x - 3)}{(x + 2)}\times\frac{\cancel{(x + 1)}(x + 2)}{(x - 3)\cancel{(x + 1)}}\)

Cancelando \((x - 3)\): \(\frac{\cancel{(x - 3)}}{(x + 2)}\times\frac{(x + 2)}{\cancel{(x - 3)}}\)

Cancelando \((x + 2)\): \(\frac{1}{(x + 2)}\times\frac{(x + 2)}{1}=1\)? Wait, no, quizás me equivoqué en la factorización.

Wait, volvamos:

\(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\) ✔️

\(x^2 - 4=(x - 2)(x + 2)\) ✔️

\(x^2 + 3x + 2=(x + 1)(x + 2)\) ✔️

\(x^2 - 2x - 3=(x - 3)(x + 1)\) ✔️

Entonces la expresión es:

$$ \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} \times \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} $$

Ahora, cancelamos:

• \((x - 2)\) del numerador y denominador: se cancela.
• \((x + 1)\) del numerador y denominador: se cancela.
• \((x - 3)\) del numerador y denominador: se cancela.
• \((x + 2)\) del numerador y denominador: se cancela.

Entonces todo se cancela y queda \(1\). Entonces la respuesta es D?

Wait, pero en las opciones, la D es \(1\). Entonces:

Después de cancelar todos los factores comunes, la expresión se simplifica a \(1\).

Answer:

D. \(1\)